Probabilités et statistiquesFormule · Glossaire
inégalité de Jensen
Pour vous orienter, comparez deux ordres de calcul : faire d'abord une moyenne puis appliquer une fonction convexe, ou appliquer d'abord la fonction puis faire la moyenne. L'inégalité de Jensen affirme que le premier résultat ne dépasse pas le second ; la section « L’énoncé » en détaille les hypothèses et la formule.
L'inégalité de Jensen est un résultat central de l'analyse mathématique portant sur les fonctions convexes. Elle a été établie en 1906 par le mathématicien et ingénieur danois Johan Jensen (1859-1925).
Forme discrète : si f est une fonction convexe sur un intervalle I, si x₁, …, xₚ sont des points de I et si a₁, …, aₚ sont des réels positifs ou nuls vérifiant a₁ + … + aₚ = 1, alors :
f(a₁x₁ + … + aₚxₚ) ≤ a₁f(x₁) + … + aₚf(xₚ)
Cette formulation exprime que l'image d'une moyenne pondérée est inférieure ou égale à la moyenne pondérée des images, dès lors que f est convexe.
Forme intégrale : soient a et b des éléments de ℝ ∪ {±∞} avec a < b ; soit φ une fonction continue de [0,1] dans ]a, b[ ; soit f une fonction convexe de ]a, b[ dans ℝ. Alors :
f(∫₀¹ φ(x) dx) ≤ ∫₀¹ (f ∘ φ)(x) dx
L'inégalité de Jensen trouve des applications importantes en théorie de la mesure, en théorie des probabilités — où elle gouverne notamment les relations entre espérance d'une transformation et transformation de l'espérance — ainsi qu'en mécanique quantique.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Lire l’inégalité comme une comparaison entre deux ordres d’opérations.
- Vérifier les hypothèses sur la convexité, les valeurs et les poids.
- Refaire un calcul complet avec la fonction carré et les valeurs 1 et 3.
- Reconnaître le renversement du sens pour une fonction concave.
- Éviter les poids négatifs, les poids non normalisés et les problèmes d’intégrabilité.
En clair
Prenez les nombres 1 et 3 à parts égales : leur moyenne vaut 2. Si vous les élevez au carré avant de faire la moyenne, vous obtenez 5. Si vous calculez d’abord la moyenne puis son carré, vous obtenez seulement 4.
Cette différence illustre l’inégalité de Jensen. Pour une fonction convexe, dont la courbe se creuse vers le haut, transformer une moyenne ne dépasse pas la moyenne des valeurs transformées. La convexité fixe donc le sens de la comparaison.
Définition
L’inégalité de Jensen compare deux opérations : prendre une moyenne pondérée, puis appliquer une fonction ; ou appliquer d’abord la fonction à chaque valeur, puis prendre la même moyenne. La fonction, notée f, doit être convexe sur un intervalle I. Les valeurs x1, …, xp appartiennent à I. À chacune est associé un poids ai positif ou nul, et la somme de tous les poids vaut 1.
Dans ces conditions, la valeur de f au point moyen ne dépasse pas la moyenne pondérée des valeurs de f : . Avec f(x)=x2, les points 1 et 3 et deux poids égaux à 1/2, le membre de gauche vaut 22=4 et celui de droite vaut (12+32)/2=5.
La forme intégrale remplace la somme pondérée par une intégrale sur [0,1]. En probabilités, la moyenne devient une espérance : Jensen compare alors la fonction de l’espérance à l’espérance de la fonction. Dans chaque forme, l’ordre des deux opérations est le cœur du résultat.
Le principe
Soit f une fonction convexe sur un intervalle I. Soient x1, …, xp des points de I et a1, …, ap des poids positifs ou nuls dont la somme vaut 1. Alors :
Le membre de gauche transforme la moyenne pondérée ; celui de droite moyenne les valeurs déjà transformées.
Quand l'utiliser
Trois vérifications précèdent l’application. La fonction f doit être convexe sur un même intervalle contenant toutes les valeurs. Chaque poids doit être positif ou nul. Enfin, leur somme doit valoir exactement 1, afin que a1x1+…+apxp soit bien une moyenne pondérée située dans l’intervalle.
Si la convexité manque, le sens annoncé peut échouer. Avec la fonction concave f(x)=−x2, les valeurs 1 et 3 et deux poids égaux à 1/2, on obtient f(2)=−4, tandis que la moyenne des images vaut −5 : −4≤−5 est faux. Il faut alors vérifier si la fonction est concave, auquel cas le sens est renversé, ou effectuer le calcul direct.
Un exemple, pas à pas
On considère la fonction f(x)=x2, les valeurs x1=1 et x2=3, ainsi que les poids a1=a2=1/2. La fonction carré est convexe sur ℝ, les poids sont positifs et leur somme vaut 1.
1. La moyenne pondérée des valeurs est (1×1+1×3)/2=2.
2. L’image de cette moyenne est f(2)=22=4.
3. Les images séparées sont f(1)=1 et f(3)=9. Leur moyenne pondérée vaut (1+9)/2=5.
4. La comparaison donne 4≤5 : l’inégalité de Jensen est vérifiée. Le graphe de la fonction carré rend visible l’écart entre le point de la courbe d’ordonnée 4 et le milieu de la corde d’ordonnée 5.
Le contrôle consiste à refaire les deux opérations dans l’ordre inverse : moyenner puis élever au carré donne 4 ; élever au carré puis moyenner donne 5. Les mêmes poids 1/2 sont employés des deux côtés.
En pratique
Pour comparer des moyennes finies, on repère une fonction convexe, on conserve les mêmes poids de part et d’autre, puis on choisit Jensen lorsque seules les valeurs moyennes sont utiles. Si toutes les images sont déjà connues, un calcul direct fournit souvent davantage d’information.
En probabilités, on utilise la même structure avec l’espérance. Pour la fonction carré, Jensen donne le contrôle (E[X])2≤E[X2], dès que ces quantités sont définies. Si la transformation n’est pas convexe sur l’ensemble des valeurs possibles, il faut étudier son domaine ou calculer l’espérance autrement.
Dans une intégrale sur [0,1], la moyenne d’une fonction joue le rôle de la moyenne pondérée. Jensen convient lorsque la fonction extérieure est convexe ; sinon, l’intégration directe ou une autre estimation doit remplacer cette comparaison.
À ne pas confondre
Une fonction convexe et une fonction concave ne donnent pas le même sens d’inégalité. Avec les valeurs 1 et 3 à parts égales, x2 donne 4≤5, tandis que −x2 donne −4≥−5. Le test consiste donc à identifier la courbure sur l’intervalle utilisé.
Limites et pièges
Des poids négatifs font sortir du cadre. Avec f(x)=x2, les valeurs 1 et 3 et les poids 2 et −1, dont la somme vaut pourtant 1, le point combiné vaut −1. On obtient f(−1)=1 contre 2f(1)−f(3)=−7 : l’inégalité 1≤−7 échoue. Il faut employer des poids positifs ou nuls.
Jensen n’annonce pas toujours une inégalité stricte. Pour f(x)=x2, 1 et 3 donnent 4 strictement inférieur à 5, mais deux valeurs identiques donnent l’égalité. Une fonction affine donne aussi l’égalité pour toute moyenne admissible. Il faut donc écrire ≤, sauf si des hypothèses supplémentaires justifient le signe strict.
La convexité doit couvrir tout l’intervalle contenant les valeurs et leur moyenne. Une courbe convexe seulement sur une partie de son domaine ne justifie pas Jensen au-delà. Il faut restreindre les valeurs à un intervalle de convexité commun ou choisir une autre estimation.
Dans la forme intégrale ou probabiliste, les moyennes écrites doivent exister. Une expression non intégrable ne devient pas finie par l’inégalité. Il faut vérifier l’existence des intégrales ou espérances avant de comparer leurs valeurs.
Pour aller plus loin
concept de convexité — Revoir la propriété géométrique qui place la courbe sous ses cordes et détermine le sens de Jensen.
Fortement convexe (fonction) — Examiner une forme renforcée de convexité qui quantifie l’écart à une fonction affine.
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