Fortement convexe (fonction)

Imaginez le graphe de la fonction f(x) = x² comme un bol. Entre les points d'abscisses −2 et 2, la corde est à la hauteur 4, tandis que la courbe descend jusqu'à 0 au milieu. Une fonction fortement convexe possède partout une courbure vers le haut au moins aussi marquée qu'un bol quadratique fixé. Elle ne peut donc présenter ni fond plat ni deux points distincts où son minimum serait atteint.

Soit f une fonction à valeurs réelles définie sur un domaine convexe d'un espace vectoriel normé. Le nombre positif m est appelé module de forte convexité. Pour deux points x et y du domaine et un nombre λ compris entre 0 et 1, la fonction est m-fortement convexe lorsque :

La convexité ordinaire place le graphe sous ses cordes. La forte convexité exige en plus un écart quadratique contrôlé par m. Si l'inégalité vaut pour un module m, elle vaut aussi pour tout module positif plus petit. Une fonction fortement convexe possède au plus un minimiseur global ; l'existence de ce minimiseur demande toutefois que l'infimum soit atteint, par exemple si, en dimension finie, le domaine est fermé et la fonction est semi-continue inférieurement et coercive. Pour une fonction de classe C² sur un ouvert convexe euclidien, le critère équivalent est que la matrice hessienne soit partout supérieure ou égale à m fois l'identité. Certains auteurs notent le module μ au lieu de m.

La structure repose sur cinq données. Le domaine convexe garantit que le point λx + (1 − λ)y reste admissible. La fonction f attribue une valeur à chaque point. La norme mesure la distance entre x et y. Le coefficient λ choisit leur position intermédiaire. Enfin, le module positif m fixe la courbure minimale exigée. Ces éléments dépendent les uns des autres : sans domaine convexe, la valeur au point intermédiaire peut ne pas être définie ; sans norme, le terme correctif quadratique n'a pas de sens. Ensemble, ils permettent de comparer la valeur de f sur un segment à la corde reliant ses valeurs aux extrémités.

Prenons la fonction f définie sur les nombres réels par f(x) = x². Les données choisies sont x = −2, y = 2, λ = 1/2 et m = 2. Vérifions l'inégalité de forte convexité au milieu du segment.

1. Le point intermédiaire vaut (1/2)(−2) + (1/2)2 = 0. Le membre de gauche est donc f(0) = 0.

2. La moyenne des valeurs aux extrémités vaut (1/2)f(−2) + (1/2)f(2) = (1/2)4 + (1/2)4 = 4.

3. La correction quadratique vaut $\frac{2}{2}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times \mid -2-2{\mid }^2=4\backslash frac\{2\}\{2\}\backslash times\backslash frac12\backslash times\backslash frac12\backslash times\backslash lvert-2-2\backslash rvert^2=4$. Le membre de droite est donc 4 − 4 = 0. La figure montre cet écart exact entre la corde et la parabole.

4. On obtient 0 ≤ 0 : l'inégalité est vérifiée avec égalité. Plus généralement, développer les carrés donne un écart égal à λ(1 − λ)(x − y)², exactement celui imposé par m = 2. Le module 2 convient donc pour tous x, y et λ, pas seulement pour les valeurs testées.

En optimisation, une forte convexité permet de certifier qu'il ne peut exister qu'un seul minimiseur. Si la fonction est seulement convexe, plusieurs solutions peuvent former un segment ; on conserve alors cet ensemble plutôt que d'annoncer une solution unique.

Pour une fonction deux fois dérivable en dimension finie, on examine les valeurs propres de la hessienne. Une borne inférieure strictement positive fournit un module m ; si la plus petite valeur propre peut atteindre 0, ce test ne prouve que la convexité.

Dans un algorithme de gradient appliqué à une fonction également lisse, le module de forte convexité intervient dans les bornes de vitesse de convergence. Lorsque cette propriété manque, on peut ajouter une pénalisation quadratique, mais on résout alors un problème modifié.

Fonction convexe. Elle vérifie l'inégalité des cordes sans correction quadratique. Sur un domaine contenant au moins deux points distincts, la fonction constante f(x) = 0 est convexe, mais elle n'est fortement convexe pour aucun m > 0.

Fonction strictement convexe. Elle place la courbe strictement sous la corde entre deux points distincts, sans imposer un écart uniforme proportionnel à leur distance au carré. La fonction f(x) = x⁴ est strictement convexe sur les réels, mais pas fortement convexe sur tout cet ensemble.

Fonction fortement concave. Le sens de courbure est opposé. Une fonction f est fortement concave lorsque −f est fortement convexe ; par exemple, −x² possède un maximum unique, et non un minimum.

Le seuil m = 0. À cette valeur charnière, le terme correctif disparaît : on retrouve la convexité ordinaire, pas la forte convexité. Il faut établir l'inégalité pour au moins un module strictement positif.

Un module n'est pas forcément optimal. Si m = 2 convient à f(x) = x², alors m = 1 convient aussi. Annoncer « le module » sans préciser qu'il s'agit du plus grand module admissible peut donc être trompeur.

Unicité ne signifie pas existence. La forte convexité interdit deux minimiseurs distincts, mais une fonction peut ne pas atteindre son infimum sur un domaine ouvert. Il faut vérifier séparément l'existence d'un point minimisant.

Le test hessien a des hypothèses. Il suppose un cadre euclidien et une fonction deux fois dérivable. Pour une fonction non lisse ou un espace normé général, il faut revenir à l'inégalité de définition ; de plus, le module dépend de la norme choisie.

Le concept de convexité replace l'inégalité des cordes dans son cadre général, avant l'ajout du terme quadratique propre à la forte convexité.

La fiche Minimum précise ce que signifie atteindre la plus petite valeur d'une fonction, propriété dont la forte convexité assure l'unicité lorsqu'une solution existe.