Jensen Johan

Imaginez une courbe qui ne forme jamais de creux entre deux de ses points. Pour une telle fonction convexe, la valeur au milieu reste en dessous de la moyenne des valeurs aux extrémités. L'inégalité de Jensen généralise cette observation à plusieurs points et à des poids qui indiquent leur importance.

Avec la fonction carré, le milieu de 0 et 2 vaut 1, tandis que la moyenne des carrés vaut 2. La courbure explique cette différence : moyenner les entrées avant de calculer donne ici un résultat plus petit que calculer d'abord, puis moyenner.

L'inégalité de Jensen compare une fonction convexe appliquée à une moyenne pondérée avec la moyenne pondérée des valeurs de cette fonction. Une fonction f est convexe sur un intervalle lorsque, pour deux nombres x et y de cet intervalle et pour tout poids t compris entre 0 et 1, sa valeur au point moyen tx + (1 − t)y ne dépasse pas la moyenne tf(x) + (1 − t)f(y).

Pour n nombres x₁, …, xₙ et des poids p₁, …, pₙ positifs ou nuls dont la somme vaut 1, la règle s'écrit ainsi :

Tous les xᵢ doivent appartenir à l'intervalle où f est convexe, et les valeurs f(xᵢ) doivent être définies. Pour une fonction concave, le sens de l'inégalité s'inverse. Avec une fonction strictement convexe, l'égalité n'apparaît généralement que lorsque les xᵢ de poids non nul sont égaux, sous les hypothèses usuelles.

On étudie la fonction carré f(x) = x² avec deux valeurs et des poids égaux. Les données sont x₁ = 0, x₂ = 2, p₁ = 1/2 et p₂ = 1/2. La fonction carré est convexe sur les nombres réels.

La moyenne pondérée des entrées vaut (1/2) × 0 + (1/2) × 2 = 1.
La fonction appliquée à cette moyenne vaut 1² = 1.
Les valeurs séparément donnent 0² = 0 et 2² = 4.
Leur moyenne pondérée vaut (1/2) × 0 + (1/2) × 4 = 2.

On obtient donc f(1) = 1 ≤ 2 = (f(0) + f(2))/2. Le contrôle consiste à comparer les deux nombres calculés : 1 est bien inférieur à 2, comme l'annonce l'inégalité de Jensen. L'écart mesure ici l'effet visible de la convexité.

En probabilités, une variable aléatoire peut remplacer la moyenne de quelques nombres. Lorsque l'espérance existe et que la fonction convexe est intégrable dans le cadre considéré, Jensen donne une borne : l'image de l'espérance ne dépasse pas l'espérance de l'image.

En analyse, la règle aide à obtenir des estimations sans calculer exactement une moyenne transformée. On choisit Jensen lorsque la convexité est établie ; sinon, une majoration directe ou une autre inégalité est nécessaire.

En théorie de l'information, des fonctions convexes interviennent dans des comparaisons de moyennes et de quantités logarithmiques. Le geste reste le même : vérifier le domaine, les poids et l'existence des valeurs avant de comparer les deux côtés.

L'inégalité de Jensen ne se confond pas avec la simple définition d'une fonction convexe. La convexité est la propriété de la fonction ; Jensen est la comparaison obtenue lorsqu'on applique cette propriété à une moyenne pondérée. Le cas de f(x) = x², avec 0 et 2, tranche : la propriété décrit la courbure, tandis que Jensen produit précisément 1 ≤ 2.

Elle ne se confond pas non plus avec une moyenne arithmétique sans fonction. Une moyenne seule ne fournit aucun sens d'inégalité entre une transformation et une moyenne transformée ; il faut une fonction convexe ou concave et des hypothèses adaptées.

Les poids ne peuvent pas être choisis arbitrairement. La forme présentée exige pᵢ ≥ 0 et la somme des pᵢ égale à 1. Si la somme vaut 3, par exemple, les coefficients ne décrivent plus une moyenne pondérée ; il faut les normaliser ou employer une autre formulation.

La convexité doit être vraie sur une région contenant les valeurs utilisées et leur moyenne. Une fonction peut être convexe sur un intervalle mais pas sur tout son domaine. Si un xᵢ sort de cette région, le verdict de Jensen ne suit plus automatiquement.

Le sens s'inverse pour une fonction concave. Confondre les deux courbures est un piège observable : pour f(x) = √x, concave sur les nombres strictement positifs, la moyenne des images ne dépasse pas l'image de la moyenne. Enfin, une égalité n'est pas une conséquence générale ; elle dépend notamment de la stricte convexité et de l'égalité des entrées de poids non nul.

La trajectoire de Johan Jensen relie l'inégalité qui porte son nom à d'autres objets cités dans la définition. La fiche fonction gamma permet de poursuivre vers la fonction gamma d'Euler, tandis que la fiche hypothèse de Riemann éclaire un autre domaine de ses recherches mentionné ici.

Ces prolongements font apparaître deux usages différents : une inégalité de convexité comme outil de comparaison, et des questions historiques d'analyse liées aux fonctions spéciales ou à la répartition des nombres premiers.