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concavité d'une fonction
La concavité d'une fonction numérique décrit la façon dont la courbe représentative se coude par rapport à ses tangentes. Une fonction est dite convexe sur un intervalle lorsque sa courbe se situe au-dessus de toute tangente en ce point (la fonction est en quelque sorte « creuse »), et concave lorsque sa courbe se situe en dessous de ses tangentes (la fonction est « bombée »). Lorsque la fonction admet une dérivée seconde sur un intervalle, le signe de celle-ci permet d'en déterminer la concavité : si f″(x) ≥ 0 pour tout x de cet intervalle, la fonction y est convexe ; si f″(x) ≤ 0 pour tout x de cet intervalle, elle y est concave. Un point où la dérivée seconde s'annule en changeant de signe est appelé point d'inflexion : la concavité y change de sens. En l'absence de dérivée seconde, la concavité peut être étudiée par des méthodes alternatives, notamment à partir de la définition par les cordes.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Interpréter la concavité par les cordes, les tangentes et l'évolution de la pente.
- Déterminer les intervalles concaves et convexes avec le signe de la dérivée seconde.
- Vérifier qu'une annulation de la dérivée seconde correspond réellement à une inflexion.
En clair
Imaginez que vous suiviez une courbe de gauche à droite. Si sa pente augmente, la courbe se creuse comme un bol : la fonction est convexe. Si sa pente diminue, elle forme plutôt un dôme : la fonction est concave.
La concavité ne dit donc pas si la courbe monte ou descend. Elle indique comment son inclinaison évolue. Une même courbe peut être concave, puis convexe ; l'endroit où ce changement se produit peut être un point d'inflexion.
Définition
Soit une fonction réelle f définie sur un intervalle I. Elle est convexe sur I lorsque, entre deux points quelconques de sa courbe, la corde reste au-dessus de la courbe. Elle est concave lorsque cette corde reste au-dessous. Cette définition par les cordes ne suppose pas que f soit dérivable.
Si f est deux fois dérivable sur I, le signe de sa dérivée seconde fournit un critère pratique : pour tout nombre x de I entraîne que f est convexe sur I ; sur tout I entraîne qu'elle est concave. Les inégalités portent donc sur l'intervalle entier, et non sur un point isolé. Géométriquement, une courbe convexe se trouve au-dessus de chacune de ses tangentes, tandis qu'une courbe concave se trouve au-dessous.
Un point d'inflexion est un point où la courbe change de concavité. Lorsque la dérivée seconde existe autour de ce point, son changement de signe permet de confirmer ce basculement. Sa seule annulation ne suffit pas.
De quoi c'est fait
L'étude réunit cinq éléments. L'intervalle fixe la zone observée. La courbe représente les valeurs de la fonction. Les cordes, qui joignent deux points de cette courbe, donnent la définition générale. Les tangentes donnent une lecture locale lorsque la fonction est dérivable. Enfin, si elle existe, la dérivée seconde mesure l'évolution de la pente.
Le signe de la dérivée seconde doit être relié à un intervalle pour conclure à la convexité ou à la concavité. Un changement de signe doit ensuite être relié au point correspondant de la courbe pour établir une inflexion. Dans l'exemple conducteur, la courbe de la fonction f définie par change ainsi de concavité à l'origine. Son orientation, sa couleur ou l'échelle du dessin ne participent pas à la définition.
Un exemple, pas à pas
Étudions la fonction f définie sur les nombres réels par . Les données sont son domaine, tous les réels, et son expression algébrique.
1. On dérive une première fois : .
2. On dérive encore : .
3. Pour x strictement négatif, 6x est négatif : f est concave sur l'intervalle allant de moins l'infini à 0. Pour x strictement positif, 6x est positif : f est convexe sur l'intervalle allant de 0 à plus l'infini.
4. En x = 0, la dérivée seconde vaut 0 et change de signe. Comme f(0) = 0, la courbe possède le point d'inflexion de coordonnées (0 ; 0). Le contrôle consiste à tester un nombre de chaque côté : f″(−1) = −6 et f″(1) = 6, ce qui confirme les deux signes annoncés.
En pratique
Pour tracer une courbe, la concavité complète le tableau de variations. Les variations indiquent où la fonction monte ou descend ; le signe de la dérivée seconde indique comment la pente évolue.
Pour rechercher un point d'inflexion, on repère d'abord les endroits où la dérivée seconde s'annule ou n'existe pas. On vérifie ensuite un véritable changement de concavité de part et d'autre.
Quand la dérivée seconde n'est pas disponible, on revient aux cordes. Cette méthode est préférable dès que la fonction n'est pas deux fois dérivable, car elle repose directement sur la définition de la convexité ou de la concavité.
À ne pas confondre
Concavité et sens de variation. Une fonction peut être décroissante et convexe. Par exemple, pour la fonction de l'exemple, la dérivée première est négative entre −1 et 1, mais la fonction devient convexe dès que x est positif.
Concavité et courbure. La concavité indique de quel côté la courbe se courbe, tandis que la courbure mesure quantitativement combien elle se courbe. Deux arcs peuvent donc être tous deux concaves sans avoir la même courbure.
Fonction concave et fonction convexe. Le critère les oppose : pour une fonction deux fois dérivable, la dérivée seconde est négative ou nulle dans le premier cas, positive ou nulle dans le second. Une fonction affine satisfait les deux critères.
Limites et pièges
Une annulation isolée ne prouve pas une inflexion. Pour la fonction définie par f(x) = x4, la dérivée seconde s'annule en 0 mais reste positive des deux côtés. La fonction demeure convexe : il faut contrôler le changement de signe.
Un signe en un point ne suffit pas. L'inégalité f″(1) > 0 renseigne le comportement au voisinage de 1 sous des hypothèses de régularité, mais elle ne prouve pas la convexité sur tout un intervalle. Il faut étudier le signe sur l'intervalle complet.
L'absence de dérivée seconde ne bloque pas l'étude. Une fonction peut rester convexe ou concave sans être deux fois dérivable partout. Il faut alors employer la comparaison avec les cordes, plutôt que conclure que la concavité n'existe pas.
Le cas charnière f″ = 0 demande du recul. Si la dérivée seconde vaut zéro sur tout un intervalle, la fonction y est affine et à la fois convexe et concave. Si elle vaut seulement zéro en un point, les signes voisins décident.
Pour aller plus loin
Concept de convexité. Cette fiche replace le comportement des fonctions dans le cadre plus large des ensembles, combinaisons et propriétés convexes.
Point d'inflexion. Elle approfondit le point où la courbe change de concavité et les précautions nécessaires pour le reconnaître.
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