méthode de Lagrange - équation algébrique -

Une courbe coupe l’axe horizontal, mais le point de rencontre est difficile à calculer exactement. On choisit alors deux points de la courbe situés de part et d’autre de cet axe et on les relie par une droite. L’endroit où cette corde coupe l’axe donne une première estimation de la racine.

La nouvelle estimation remplace l’extrémité qui porte le même signe, de sorte que la racine reste encadrée. Une nouvelle corde resserre ensuite l’approximation. Pour x² − 2 entre 1 et 2, les premières estimations sont 4/3, puis 7/5, puis 24/17 : elles se rapprochent de √2.

Soit f une fonction continue sur un intervalle [a, b], avec f(a) et f(b) de signes opposés. La méthode de la corde remplace localement la courbe par la droite passant par A(a, f(a)) et B(b, f(b)). L’abscisse de l’intersection de cette droite avec l’axe horizontal est $x=\frac{af(b)-bf(a)}{f(b)-f(a)}x=\backslash frac\{a\; f(b)-b\; f(a)\}\{f(b)-f(a)\}$.

Dans la variante encadrée décrite ici, on conserve x avec l’extrémité où f a le signe opposé. On obtient un nouvel intervalle dont les valeurs aux bornes restent de signes contraires, puis on recommence. La continuité garantit qu’une racine demeure dans chaque intervalle.

La dérivabilité et l’absence de changement de concavité ne sont pas nécessaires pour calculer une corde ni pour préserver l’encadrement. Elles interviennent dans les théorèmes classiques qui garantissent une suite monotone et une convergence linéaire vers une racine simple. Le nom « méthode des sécantes » est parfois employé au sens large ; dans l’usage numérique actuel, il désigne souvent une variante non encadrée distincte.

On part de deux bornes a₀ et b₀ telles que f(a₀)f(b₀) < 0. À l’étape n, l’abscisse de la corde est définie par :

Si f(x_n+1) = 0, la racine est trouvée. Si f(a_n) et f(x_n+1) sont de signes opposés, le nouvel intervalle est [a_n, x_n+1]. Sinon, il est [x_n+1, b_n]. Le calcul s’arrête lorsque la valeur absolue de f(x_n+1), la largeur de l’intervalle ou la variation entre deux estimations passe sous une tolérance fixée.

Pour garantir l’existence d’au moins une racine encadrée, f doit être continue sur [a, b] et satisfaire f(a)f(b) < 0. Ce changement strict de signe exclut le cas où une borne est déjà racine ; celui-ci se traite immédiatement avant toute division. Il faut aussi que f(a) et f(b) soient distincts, ce qui découle ici de leurs signes opposés.

Pour la convergence classique vers une racine unique, on suppose généralement que f est dérivable, que sa dérivée ne s’annule pas et que sa concavité garde le même sens sur l’intervalle. Si f est deux fois dérivable, cette dernière condition s’exprime par un signe constant de f″. Ces hypothèses empêchent notamment la corde de basculer entre plusieurs comportements géométriques.

Pour f(x) = x² − 2 sur [1, 2], la fonction est continue, f(1) = −1 et f(2) = 2. Sa dérivée 2x est positive et sa dérivée seconde vaut 2 sur tout l’intervalle : le cadre classique est satisfait et l’unique racine encadrée est √2.

On cherche la racine positive de f(x) = x² − 2. Les valeurs f(1) = −1 et f(2) = 2 sont de signes opposés, donc la racine est encadrée par 1 et 2.

1. La corde entre (1, −1) et (2, 2) coupe l’axe en $x_1=\frac{1\times 2-2\times (-1)}{2-(-1)}=\frac{4}{3}x\_1=\backslash frac\{1\backslash times2-2\backslash times(-1)\}\{2-(-1)\}=\backslash frac\{4\}\{3\}$. Comme f(4/3) = −2/9, le même signe qu’en 1, la nouvelle borne gauche est 4/3 ; la borne droite reste 2.

2. Avec les points (4/3, −2/9) et (2, 2), la nouvelle intersection vaut $x_2=\frac{\frac{4}{3}\times 2-2\times (-\frac{2}{9})}{2-(-\frac{2}{9})}=\frac{7}{5}x\_2=\backslash frac\{\backslash frac\{4\}\{3\}\backslash times2-2\backslash times(-\backslash frac\{2\}\{9\})\}\{2-(-\backslash frac\{2\}\{9\})\}=\backslash frac\{7\}\{5\}$. Or f(7/5) = −1/25 : on conserve encore la borne 2.

3. La corde entre (7/5, −1/25) et (2, 2) donne $x_3=\frac{\frac{7}{5}\times 2-2\times (-\frac{1}{25})}{2-(-\frac{1}{25})}=\frac{24}{17}x\_3=\backslash frac\{\backslash frac\{7\}\{5\}\backslash times2-2\backslash times(-\backslash frac\{1\}\{25\})\}\{2-(-\backslash frac\{1\}\{25\})\}=\backslash frac\{24\}\{17\}$, soit environ 1,4118.

4. Le contrôle donne f(24/17) = −2/289, soit environ −0,0069. La racine √2 ≈ 1,4142 reste comprise entre 24/17 et 2, et l’erreur de la troisième estimation est déjà inférieure à 0,0025.

Le tracé associé montre les trois cordes successives : leur intersection avec l’axe horizontal avance de 4/3 à 7/5 puis à 24/17, tandis que le point d’abscisse 2 reste fixe.

On commence par repérer un intervalle où la fonction change de signe. À chaque étape, on calcule l’intersection de la corde, on évalue la fonction en ce point, puis on remplace la borne de même signe. Cette règle conserve un encadrement de la racine, avantage utile lorsqu’une approximation garantie compte davantage qu’une vitesse maximale.

Le critère d’arrêt doit correspondre au besoin. Une petite valeur de |f(x)| mesure un faible résidu, tandis qu’un intervalle étroit contrôle directement la localisation de la racine. Pour éviter un arrêt trompeur sur une fonction très plate, il est prudent de suivre les deux informations.

Si une extrémité ne bouge plus pendant de nombreuses étapes, la fausse position peut progresser lentement. La dichotomie offre alors une réduction régulière de l’intervalle ; des variantes comme Illinois modifient les poids pour libérer l’extrémité bloquée.

La méthode des sécantes moderne utilise généralement les deux dernières approximations, sans imposer qu’elles encadrent la racine. Elle peut converger plus vite, avec un ordre proche du nombre d’or pour une racine simple, mais elle peut aussi quitter l’intervalle ou échouer. La méthode de la corde encadrée conserve au contraire deux valeurs de signes opposés et présente en général une convergence linéaire.

La dichotomie conserve elle aussi un changement de signe, mais choisit le milieu de l’intervalle sans tenir compte des hauteurs f(a) et f(b). La corde exploite ces deux hauteurs par interpolation linéaire ; son point peut donc être très décentré.

La méthode de Newton remplace la corde par la tangente en un seul point et demande la dérivée. Enfin, les multiplicateurs de Lagrange concernent l’optimisation sous contrainte : ils n’ont pas pour objet cette approximation d’une racine.

Un changement de signe garantit au moins une racine pour une fonction continue, mais il ne prouve pas à lui seul qu’elle est unique. À l’inverse, une racine de multiplicité paire peut être touchée sans changement de signe : la condition f(a)f(b) < 0 ne la détecte pas.

L’une des bornes peut rester fixe si les cordes rencontrent toujours l’axe près de l’autre borne. Sur une fonction très courbée, l’intervalle se resserre alors beaucoup plus lentement que ne le laisserait espérer l’interpolation. La convergence linéaire n’implique donc pas un gain uniforme de chiffres à chaque étape.

Si f est discontinue, des valeurs de signes opposés peuvent encadrer une asymptote plutôt qu’un zéro. Si les deux valeurs aux bornes ont le même signe, la règle de remplacement ne garantit plus aucun encadrement. Enfin, lorsque f(a) et f(b) sont presque égaux, la formule de la corde peut être numériquement sensible ; une écriture stable et un contrôle de l’intervalle sont nécessaires.

Le théorème des valeurs intermédiaires explique pourquoi la continuité et le changement de signe assurent la présence d’une racine dans l’intervalle.

La fiche méthode de fausse position replace l’interpolation linéaire parmi plusieurs procédés historiques portant ce nom.

Les fiches dichotomie et méthode de Newton-Raphson présentent deux autres compromis entre garantie d’encadrement, information utilisée et vitesse de convergence.