AnalyseMéthode · Glossaire
méthode de Newton
La méthode de Newton est un algorithme itératif qui approche une racine d’une fonction, c’est-à-dire une solution de f(x) = 0. À partir d’une estimation, elle remplace localement la courbe par sa tangente et prend l’intersection de celle-ci avec l’axe horizontal comme nouvelle estimation. Si la fonction est suffisamment régulière, si sa dérivée ne s’annule pas près de la racine et si l’estimation initiale en est assez proche, les itérations convergent vers cette racine.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier chaque itération à l’intersection d’une tangente avec l’axe horizontal.
- Appliquer la formule à x² − 2 pour approcher √2.
- Reconnaître les conditions locales de convergence et les principaux motifs d’échec.
En clair
Imaginez la courbe d’une fonction et cherchez l’endroit où elle coupe l’axe horizontal. On part d’un point de la courbe assez proche de cette intersection. La tangente en ce point, plus simple que la courbe, coupe elle-même l’axe en une nouvelle estimation.
La méthode de Newton recommence ce geste avec chaque estimation obtenue. Lorsque la courbe est suffisamment régulière et le point de départ bien choisi, les estimations se rapprochent rapidement du zéro cherché.
Définition
La méthode de Newton est une procédure itérative pour approcher un zéro d’une fonction, c’est-à-dire un nombre où cette fonction vaut 0. Soit f une fonction dérivable et soit u0 une estimation initiale. Tant que la dérivée ne s’annule pas aux valeurs utilisées, on construit la suite des estimations un par la relation suivante :
Géométriquement, un+1 est l’abscisse où la tangente à la courbe en un rencontre l’axe horizontal. Cette formule vient de l’approximation affine de f fournie par son développement de Taylor à l’ordre 1. La convergence n’est pas automatique. Près d’une racine simple, avec une fonction suffisamment régulière, elle est typiquement quadratique : une fois assez proche, le nombre de chiffres exacts tend à doubler à chaque étape.
Le principe
Choisissez une valeur initiale u0 proche du zéro visé. À l’étape n, calculez la valeur f(un) et la dérivée f′(un). Si cette dérivée est non nulle, formez l’estimation suivante : . Répétez jusqu’à ce que le résidu |f(un)| et le changement |un+1 − un| soient compatibles avec la précision recherchée.
Quand l'utiliser
La méthode s’applique à une équation f(x) = 0 lorsque la fonction et sa dérivée peuvent être calculées près du zéro cherché. Il faut que f′(un) soit non nulle à chaque itération. Une estimation initiale dans une zone où la fonction est suffisamment régulière et proche d’une racine simple fournit le cadre classique de convergence rapide.
Si f′(un) = 0, la formule demande une division par zéro et l’itération est bloquée. Il faut alors changer de point initial ou employer une méthode avec encadrement, comme la dichotomie, lorsqu’un intervalle où la fonction change de signe est connu.
Un exemple, pas à pas
On cherche la racine positive de f(x) = x² − 2, donc une approximation de √2. Les données sont la fonction f, sa dérivée f′(x) = 2x et la valeur initiale u0 = 1,5.
1. On calcule f(1,5) = 0,25 et f′(1,5) = 3.
2. La première estimation est .
3. La deuxième estimation est .
2. La première estimation est .
3. La deuxième estimation est .
Le résultat u2 approche √2 ≈ 1,4142136 à environ deux millionièmes près. Le contrôle se refait sans connaître √2 : la valeur exacte f(u2) = 1/166464 est positive et vaut environ 0,0000060, donc u2 est très proche d’un zéro. La figure rend visible le premier passage de u0 à u1.
En pratique
Pour résoudre numériquement une équation, on choisit une estimation à partir d’un graphe ou d’un encadrement, puis on surveille simultanément le résidu et le déplacement entre deux itérations.
Si une dérivée fiable est disponible et que le départ est proche de la solution, Newton est souvent choisi pour sa convergence locale rapide. Si la priorité est de garantir la convergence dans un intervalle où une fonction continue change de signe, la dichotomie est plus sûre, quoique généralement plus lente.
Dans un programme, une limite du nombre d’itérations et un seuil minimal sur |f′(un)| évitent de poursuivre un calcul bloqué ou instable.
À ne pas confondre
Méthode de Newton et dichotomie. Newton utilise la dérivée en un point et produit une nouvelle estimation par une tangente. La dichotomie conserve un intervalle dont les extrémités donnent des signes opposés. Avec un tel intervalle mais sans dérivée exploitable, c’est la dichotomie qui s’applique directement.
Zéro de la fonction et minimum de la fonction. Newton cherche ici f(x) = 0, pas l’endroit où f est minimale. Pour minimiser f, on peut appliquer une méthode de recherche de zéro à sa dérivée f′, mais le problème et les conditions changent.
Limites et pièges
Dérivée nulle ou presque nulle. Le quotient devient impossible ou produit un très grand saut. Si |f′(un)| tombe sous le seuil fixé pour le calcul, il faut interrompre l’itération et changer de point ou de méthode.
Mauvais point de départ. Une suite peut s’éloigner, osciller ou converger vers une autre racine. Un graphe ou un encadrement préalable aide à choisir la zone visée ; une méthode hybride peut reprendre la main si le pas sort de cette zone.
Racine multiple. Si la racine annule aussi la dérivée, la convergence quadratique classique disparaît souvent et devient seulement linéaire. Connaître la multiplicité permet de modifier l’itération ; sinon, il faut interpréter la lenteur comme un signal et non comme une garantie d’échec.
Petit pas trompeur. Deux estimations presque identiques ne prouvent pas seules que f(un) est proche de 0. Le critère d’arrêt doit aussi contrôler le résidu, avec une tolérance adaptée à l’échelle du problème.
Pour aller plus loin
Le zéro d’une fonction précise l’objet que l’itération cherche à approcher.
Le développement en série de Taylor explique l’approximation locale qui conduit à la formule de Newton.
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