AnalyseMéthode · Glossaire
méthode des tangentes
La méthode des tangentes, ou méthode de Newton, approche un zéro d’une fonction dérivable : à partir d’une estimation, l’intersection de la tangente à la courbe avec l’axe des abscisses fournit l’estimation suivante. Si la fonction est deux fois continûment dérivable au voisinage d’une racine simple, l’itération converge pour un point de départ suffisamment proche ; elle sert notamment à calculer des racines carrées.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier la construction géométrique par tangentes à la formule de Newton.
- Calculer √2 pas à pas et contrôler numériquement le résultat.
- Reconnaître les hypothèses, cycles, dérivées nulles et critères d’arrêt.
En clair
Imaginez une courbe qui coupe l’axe horizontal au point recherché. Depuis une première estimation, on trace la droite qui touche la courbe au même endroit : sa tangente. L’endroit où cette droite coupe l’axe fournit une nouvelle estimation, généralement meilleure.
Pour approcher √2, on peut partir de 2, obtenir 1,5, puis environ 1,4167. Chaque étape remplace un problème courbe par un calcul sur une droite.
Définition
La méthode des tangentes, ou méthode de Newton, cherche un zéro d’une fonction dérivable. La fonction est notée f, et l’approximation obtenue à l’étape numéro n est notée xn. On remplace localement la courbe par sa tangente au point d’abscisse xn, puis on prend l’intersection de cette droite avec l’axe horizontal comme approximation suivante.
Lorsque la dérivée f′(xn) n’est pas nulle, l’itération s’écrit . Pour calculer la racine carrée d’un réel A strictement positif, on applique cette règle à f(x) = x2 − A. Elle devient , avec une valeur initiale positive. Cette itération est aussi appelée méthode babylonienne.
Le même principe s’étend aux racines p-ièmes positives, où l’entier p est au moins égal à 2, en appliquant Newton à f(x) = xp − A. La convergence n’est toutefois pas garantie pour toute fonction ni pour tout point de départ.
Le principe
Choisissez une valeur initiale x0. À l’étape n, calculez f(xn) et f′(xn). Si f′(xn) n’est pas nulle, posez . Répétez jusqu’à ce que le résidu |f(xn)| et l’écart |xn+1 − xn| soient inférieurs à une tolérance fixée. Le choix du critère et de la tolérance dépend de la précision recherchée.
Quand l'utiliser
La fonction doit être définie et dérivable près des approximations parcourues. À chaque étape, la dérivée au point courant doit être non nulle. Une convergence rapide est notamment assurée au voisinage d’une racine simple si la fonction est suffisamment régulière et si le départ est assez proche ; ces conditions sont locales, pas universelles.
Pour √A, il faut A > 0 et choisir x0 > 0 ; les dénominateurs restent alors non nuls. Si l’on cherche un zéro de f(x) = x3 − 2x + 2 en partant de 0, les valeurs alternent entre 0 et 1 : la méthode ne converge pas. Il faut changer de départ ou employer une méthode encadrée, comme la dichotomie lorsqu’un intervalle de changement de signe est connu.
Un exemple, pas à pas
On cherche √2, c’est-à-dire le zéro positif de f(x) = x2 − 2. Les données sont A = 2, la valeur initiale x0 = 2 et la règle xn+1 = ½(xn + 2/xn). La courbe et ses deux premières tangentes rendent visible le passage d’une approximation à la suivante.
1. À partir de x0 = 2, on obtient x1 = ½(2 + 2/2) = 3/2 = 1,5.
2. À partir de x1 = 3/2, on obtient .
3. Une étape supplémentaire donne x3 = 577/408 ≈ 1,4142157. Le résultat est donc √2 ≈ 1,4142 à quatre décimales.
Le contrôle consiste à élever l’approximation au carré : (577/408)2 = 332929/166464 ≈ 2,000006. Le faible résidu, environ 0,000006, confirme la précision annoncée.
En pratique
Pour calculer une racine carrée à la main ou dans un programme, l’itération babylonienne est efficace dès qu’une estimation positive est disponible. On s’arrête lorsque deux valeurs successives ne diffèrent plus à la précision voulue.
Pour résoudre une équation numérique, Newton est intéressant lorsque la dérivée se calcule facilement et qu’un bon départ est connu. Si l’on sait que la fonction est continue sur un intervalle et y change de signe, la dichotomie est plus lente mais offre un encadrement robuste.
Dans un calcul automatisé, on surveille à la fois le résidu, le déplacement entre deux itérations et un nombre maximal d’étapes. Ces trois contrôles évitent d’annoncer une convergence sur la seule apparence de valeurs presque immobiles.
À ne pas confondre
La méthode des tangentes ne se confond pas avec la dichotomie. Newton utilise une dérivée et produit une suite non nécessairement encadrée ; pour une fonction continue sur l’intervalle, la dichotomie conserve un intervalle dont les extrémités donnent des signes opposés. Pour f(x) = x3 − 2x + 2 avec le départ 0, Newton oscille, tandis qu’un intervalle de changement de signe permettrait à la dichotomie de progresser.
Elle ne se confond pas non plus avec la simple lecture graphique d’une racine. Le graphique fournit une estimation dépendante de l’échelle ; Newton transforme cette estimation par un calcul reproductible. Pour √2, lire environ 1,4 sur un dessin n’équivaut pas à obtenir 577/408 après trois itérations.
Limites et pièges
Une dérivée nulle bloque la formule, car elle apparaît au dénominateur. Pour f(x) = x3 − 1 avec x0 = 0, aucune première étape n’est définie ; il faut choisir un autre départ.
Un cycle peut remplacer la convergence. Pour f(x) = x3 − 2x + 2 et x0 = 0, Newton donne successivement 1 puis 0. Détecter la répétition impose de changer de départ ou de méthode.
Près d’une racine multiple, la convergence habituelle peut devenir seulement linéaire. Le symptôme est une amélioration régulière mais beaucoup moins spectaculaire des chiffres exacts ; une formule adaptée à la multiplicité peut alors accélérer le calcul.
Un petit déplacement ne suffit pas toujours à prouver que f(xn) est proche de zéro. Il faut aussi vérifier le résidu et imposer un maximum d’itérations. Pour la racine carrée réelle, le cas A = 0 demande un traitement séparé, et A < 0 n’a pas de solution réelle.
Pour aller plus loin
La méthode de Newton replace la construction par tangentes dans son cadre général de résolution numérique et permet d’approfondir ses conditions de convergence.
La fonction racine carrée relie l’approximation calculée à la fonction dont on cherche ici une valeur numérique.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres