ArithmétiqueMéthode · Glossaire
algorithme de Babylone
Pour calculer la racine carrée d’un réel strictement positif, l’algorithme de Babylone part d’une estimation strictement positive, puis la remplace à chaque étape par la moyenne de cette estimation et du quotient du nombre par celle-ci. Ces deux valeurs encadrent la racine, sauf si elle est déjà atteinte, et leur moyenne produit des approximations qui convergent rapidement vers elle.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Transformer une estimation positive par une division et une moyenne.
- Approcher √2 en trois tours à partir de 2.
- Contrôler l’approximation en mettant le résultat au carré.
- Identifier le domaine réel, le départ interdit et un critère d’arrêt adapté.
- Relier la procédure au cas particulier de Newton-Raphson.
En clair
Pour chercher √2, partez du nombre 2. Divisez 2 par cette estimation : vous obtenez 1. La racine cherchée se trouve entre ces deux valeurs. Leur moyenne, 1,5, devient une meilleure estimation.
Recommencez avec 1,5 et son partenaire 2/1,5, soit 4/3. Leur moyenne vaut 17/12, environ 1,4167. À chaque tour, les deux valeurs encadrent √2 de plus près. L’algorithme de Babylone transforme ainsi une division et une moyenne répétées en approximation très précise.
Définition
L’algorithme de Babylone approche la racine carrée du nombre réel strictement positif a. On choisit une estimation initiale positive b0, puis chaque nouvelle estimation est la moyenne arithmétique de la précédente et du quotient a/bn.
Si b0 est supérieure à √a, alors a/b0 lui est inférieur. La moyenne fournit une nouvelle borne supérieure, tandis que son quotient associé fournit une borne inférieure. La récurrence s’écrit . Les estimations restent positives et convergent vers √a.
Cette récurrence est exactement celle de Newton-Raphson appliquée à la recherche d’un zéro de la fonction f(x) = x2 − a. On rencontre aussi l’appellation « méthode de Héron » pour cette procédure de calcul des racines carrées.
Le principe
Soit a un réel strictement positif et b0 une estimation positive. Calculez successivement le quotient a/bn, puis la moyenne de ce quotient et de bn : . Répétez jusqu’à ce que deux estimations consécutives aient la précision souhaitée. La valeur obtenue approche √a.
Quand l'utiliser
Dans le cadre réel décrit ici, le nombre a doit être strictement positif et l’estimation initiale b0 doit être positive. Cette dernière condition empêche toute division par zéro et conserve des valeurs positives. Choisir b0 au-dessus de √a donne immédiatement l’encadrement annoncé dans la définition source.
Pour a = −2, aucune racine carrée réelle n’existe : cette itération réelle n’a donc pas la cible annoncée. Pour a = 0, la racine est déjà connue et la récurrence divise seulement l’estimation par 2 ; il vaut mieux retourner directement 0. Le critère d’arrêt dépend de la précision recherchée, pas d’une égalité décimale parfaite.
Un exemple, pas à pas
On cherche √2 avec l’estimation initiale b0 = 2. Les données sont donc a = 2 et b0 = 2. Chaque tour reprend uniquement le résultat du tour précédent.
1. Le quotient associé à 2 vaut 2/2 = 1 ; leur moyenne donne b1 = (2 + 1)/2 = 3/2 = 1,5.
2. Le quotient associé vaut 2/(3/2) = 4/3 ; leur moyenne donne b2 = (3/2 + 4/3)/2 = 17/12 ≈ 1,4167.
3. Le quotient associé vaut 2/(17/12) = 24/17 ; leur moyenne donne b3 = 577/408 ≈ 1,4142157.
2. Le quotient associé vaut 2/(3/2) = 4/3 ; leur moyenne donne b2 = (3/2 + 4/3)/2 = 17/12 ≈ 1,4167.
3. Le quotient associé vaut 2/(17/12) = 24/17 ; leur moyenne donne b3 = 577/408 ≈ 1,4142157.
Après trois tours, l’approximation est donc 1,4142157 à sept décimales. Pour contrôler le résultat sans supposer la racine connue, on le met au carré : (577/408)2 = 332929/166464 ≈ 2,000006. L’écart au nombre 2 n’est plus que d’environ 0,000006.
En pratique
À la main, quelques tours suffisent souvent pour obtenir plusieurs décimales d’une racine carrée. On choisit un départ simple, puis on conserve davantage de chiffres que nécessaire avant l’arrondi final. Pour √2, le départ 2 mène déjà à 1,4142157 après trois tours.
Dans un programme, on répète la division et la moyenne tant que l’écart entre deux estimations dépasse une tolérance fixée. Si le nombre est un carré parfait facile à reconnaître, un calcul exact direct est préférable. Si une borne supérieure est disponible, elle rend en plus l’encadrement de la racine lisible à chaque étape.
À ne pas confondre
Méthode de Newton-Raphson. Newton-Raphson cherche plus généralement un zéro d’une fonction à l’aide de sa dérivée. Pour f(x) = x2 − a, son calcul devient exactement l’itération babylonienne ; pour une autre fonction, la formule change.
Encadrement par dichotomie. Une dichotomie remplace à chaque tour l’une des deux bornes selon le signe observé au milieu. L’algorithme de Babylone forme plutôt la moyenne de bn et a/bn. Sur √2 avec le départ 2, son premier résultat est 1,5.
Limites et pièges
Départ nul. Avec b0 = 0, le quotient a/b0 n’existe pas. Il faut choisir une estimation strictement positive.
Nombre négatif dans les réels. Lorsque a est négatif, sa racine carrée n’est pas un nombre réel. Il faut changer de cadre numérique au lieu de poursuivre cette version réelle de l’algorithme.
Arrêt sur une égalité. Des nombres décimaux stockés avec une précision finie peuvent se stabiliser ou s’arrondir sans fournir une preuve d’exactitude. Il faut comparer l’écart à une tolérance annoncée et contrôler le carré du résultat.
Arrondis trop précoces. Arrondir 17/12 à 1,4 avant le tour suivant dégrade volontairement l’information disponible. Il faut garder des chiffres de garde et n’arrondir à la précision demandée qu’à la fin.
Pour aller plus loin
méthode de Newton-Raphson — Replacer l’itération babylonienne dans une méthode générale de recherche des zéros d’une fonction.
fonction racine carrée — Étudier le domaine, les variations et le graphe de la fonction dont l’algorithme calcule une valeur.
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