Extraction d'une racine carrée

Un carré d’aire 10 n’a pas un côté de longueur entière : 3 est trop petit, car 3² = 9, et 4 est trop grand, car 4² = 16. Extraire √10 revient à resserrer cet intervalle pour approcher la longueur cherchée avec la précision souhaitée.

La méthode de Héron améliore une estimation en la mettant en balance avec le quotient 10 divisé par cette estimation. Leur moyenne fournit une nouvelle valeur, rapidement plus proche de √10.

Extraire la racine carrée d’un réel positif ou nul consiste à déterminer l’unique réel positif ou nul dont le carré vaut ce nombre. Si le nombre donné est noté a, sa racine carrée se note √a. Pour a > 0, l’algorithme de Héron, aussi appelé méthode babylonienne, part d’une estimation initiale strictement positive.

On note x_n l’estimation obtenue après n itérations. La suivante est la moyenne de l’estimation courante et du quotient de a par celle-ci : $x_{n+1}=\frac{1}{2}(x_n+\frac{a}{x_n})x\_\{n+1\}=\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash left(x\_n+\backslash frac\{a\}\{x\_n\}\backslash right)$. Ces deux nombres encadrent √a lorsqu’ils sont distincts : si l’un est trop grand, l’autre est trop petit.

Pour a > 0 et x₀ > 0, les estimations convergent vers √a. La convergence devient quadratique près de la limite : le nombre de chiffres exacts tend alors à doubler à chaque étape. Le calcul s’arrête lorsque deux estimations successives sont assez proches pour la précision recherchée.

On cherche √10 avec la méthode de Héron.
Données : le nombre à traiter est 10 ; l’estimation initiale est x₀ = 4 ; le résultat sera arrondi à six décimales.

1. Avec x₀ = 4, le quotient 10/4 vaut 2,5. Leur moyenne donne $x_1=\frac{4+\mathrm{2,5}}{2}=\mathrm{3,25}x\_1=\backslash frac\{4+2\{,\}5\}\{2\}=3\{,\}25$.

2. On recommence avec 3,25 : $x_2=\frac{\mathrm{3,25}+10\mathrm{/}\mathrm{3,25}}{2}=\frac{329}{104}\approx \mathrm{3,163461538}x\_2=\backslash frac\{3\{,\}25+10/3\{,\}25\}\{2\}=\backslash frac\{329\}\{104\}\backslash approx3\{,\}163461538$.

3. Une nouvelle itération donne x₃ ≈ 3,162277882, puis la suivante donne x₄ ≈ 3,162277660. Arrondi à six décimales, le résultat est donc √10 ≈ 3,162278.

Le contrôle utilise deux seuils qui s’arrondissent à 3,162278 : 3,1622776² ≈ 9,999999619 < 10, tandis que 3,1622784² ≈ 10,000004679 > 10. La racine positive est donc comprise entre ces seuils, ce qui confirme l’arrondi à six décimales.

Pour un carré parfait, le calcul exact reste préférable : √9 = 3 immédiatement. La méthode de Héron devient utile quand aucun entier évident n’a le carré demandé, comme pour √10.

Pour estimer à la main, on choisit d’abord un entier strictement positif et proche, puis on répète la moyenne. On s’arrête lorsque les décimales utiles ne changent plus ; poursuivre sans besoin de précision ajoute du calcul, pas de l’information.

Dans un programme, on compare deux estimations successives à une tolérance fixée. Une bibliothèque de calcul est préférable si elle fournit déjà la précision et le traitement des valeurs hors domaine exigés par l’application.

Racine carrée et solutions d’une équation. Le symbole √10 désigne une seule valeur, positive. En revanche, l’équation x² = 10 possède deux solutions réelles : √10 et −√10.

Extraction et fonction racine carrée. L’extraction est le calcul effectué pour une valeur donnée. La fonction racine carrée associe √a à chaque réel a positif ou nul ; elle décrit donc une relation sur tout un domaine.

Racine carrée et racine cubique. La première cherche un nombre dont la puissance deux redonne la donnée ; la seconde utilise la puissance trois. Ainsi, √9 = 3 tandis que la racine cubique de 8 vaut 2.

Nombre négatif. Dans les nombres réels, aucun carré n’est négatif : √a n’y est donc pas défini si a < 0. Il faut changer de cadre numérique, vers les nombres complexes, au lieu de lancer l’itération réelle.

Valeur initiale nulle. Pour a > 0, choisir x₀ = 0 rend le quotient a/x₀ impossible. Une estimation initiale strictement positive évite cette division par zéro et conduit à la racine positive.

Cas a = 0. La racine vaut exactement 0. Avec une estimation positive, la formule de Héron divise simplement cette estimation par deux à chaque étape ; la convergence n’est alors pas quadratique. Il vaut mieux traiter ce cas directement.

Arrêt prématuré. Une estimation n’est pas une égalité exacte. Pour √10, écrire 3,16² = 10 serait faux, puisque 3,16² = 9,9856. Il faut conserver le signe ≈ et fixer la précision avant d’arrêter.

L'algorithme de Héron approfondit l’itération, son histoire et la rapidité de ses approximations.

fonction racine carrée replace le calcul d’une valeur dans l’étude de la fonction définie sur les réels positifs ou nuls.

Les racines carrées élargit la perspective sur leurs propriétés et leurs modes de calcul.