méthode de Bombelli

Pour approcher √13, on part du carré immédiatement inférieur : 3² = 9. Il manque 4 pour atteindre 13. La méthode de Bombelli réinjecte ce reste dans une même fraction, encore et encore.

Les estimations passent alternativement au-dessus et au-dessous de √13, tout en se resserrant autour de sa valeur. Chaque étape utilise seulement l'estimation précédente. On obtient ainsi des fractions de plus en plus précises sans connaître d'avance l'écriture décimale de la racine.

Dans son sens le plus courant, la méthode de Bombelli est un algorithme d'approximation de la racine carrée d'un entier positif. Pour l'entier n, on choisit l'entier a tel que a² ≤ n < (a + 1)², puis on appelle r le reste n − a². La première approximation, notée x₀, vaut a. Les suivantes sont définies par la relation :

Comme a et r sont entiers, chaque terme x_k est une fraction. La relation vient de l'identité √n − a = r/(√n + a) : si les approximations convergent vers une limite positive, cette limite est √n. Avec le choix de a comme partie entière de √n, la suite converge bien; si r = 0, n est déjà un carré parfait et x₀ donne la valeur exacte. L'expression « méthode de Bombelli » peut aussi désigner la contribution de Bombelli au traitement algébrique des équations du troisième degré, dans la continuité de Cardan; cette autre acception n'est pas l'algorithme d'extraction décrit ici.

Pour un entier positif n, trouvez d'abord l'entier a dont le carré est le plus grand carré inférieur ou égal à n. Calculez le reste r = n − a² et posez x₀ = a. Répétez ensuite l'opération suivante :

Arrêtez lorsque deux valeurs successives donnent la même précision décimale recherchée. Les fractions obtenues convergent vers √n.

La procédure décrite s'applique à un entier n strictement positif. Elle demande de connaître l'entier a vérifiant a² ≤ n < (a + 1)², puis le reste r = n − a². Le choix de cet a garantit 0 ≤ r < 2a + 1 et fournit une suite de fractions définies, convergente vers la racine positive √n.

Si n est un carré parfait, r vaut 0 : aucune itération n'est nécessaire. Pour un nombre négatif, il n'existe pas de racine carrée réelle; cette version de la méthode ne s'applique donc pas. Il faut alors changer de cadre et travailler avec les nombres complexes.

On cherche √13. Les données sont n = 13, a = 3 puisque 3² ≤ 13 < 4², et r = 13 − 3² = 4. On part de x₀ = 3.

1. La première itération donne x₁ = 3 + 4/(3 + 3) = 11/3 ≈ 3,6667.

2. La deuxième donne x₂ = 3 + 4/(3 + 11/3) = 18/5 = 3,6.

3. La troisième donne x₃ = 3 + 4/(3 + 18/5) = 119/33 ≈ 3,6061.

4. La quatrième donne x₄ = 3 + 4/(3 + 119/33) = 393/109 ≈ 3,6055.

Les approximations encadrent progressivement √13 ≈ 3,6056. Un contrôle refaisable consiste à élever 3,6055 au carré : on obtient environ 12,9996, très proche de 13.

À la main, la méthode convient lorsqu'on veut produire une approximation rationnelle avec les quatre opérations. On poursuit les itérations jusqu'à ce que les décimales utiles ne changent plus.

Pour vérifier un résultat, on met l'approximation au carré. Si le carré est trop grand, l'estimation était au-dessus de la racine; s'il est trop petit, elle était au-dessous.

Sur calculatrice ou ordinateur, la méthode de Héron est souvent préférée pour sa convergence plus rapide. La méthode de Bombelli reste particulièrement parlante lorsque l'on veut suivre la construction de fractions successives ou étudier une fraction continue.

La méthode de Héron. Elle remplace une estimation x par la moyenne de x et n/x. La méthode de Bombelli réutilise plutôt le reste r = n − a² et garde le même entier a à chaque étape. Pour √13 à partir de 3, les deux règles donnent d'abord 11/3, puis Héron donne 119/33 tandis que Bombelli donne 18/5.

La méthode de Cardan pour les équations cubiques. Elle cherche les solutions d'une équation du troisième degré. Bombelli a contribué à ce domaine, mais l'algorithme présenté dans cette fiche cherche une racine carrée par approximations successives. La nature du problème permet donc de trancher.

Carré parfait. Si r = 0, toutes les itérations redonnent a. Ce n'est pas un échec de convergence : la racine exacte était connue dès le départ, par exemple √16 = 4.

Arrondi prématuré. Remplacer chaque fraction par trop peu de décimales peut dégrader les étapes suivantes. Il vaut mieux conserver les fractions exactes, puis arrondir seulement le résultat demandé.

Alternance mal interprétée. Pour √13, x₁ est au-dessus, x₂ au-dessous et les termes suivants continuent d'alterner. Une hausse ponctuelle n'indique donc pas une divergence; il faut observer le resserrement des deux sous-suites.

Seconde acception du nom. Un texte consacré aux équations cubiques peut employer « méthode de Bombelli » dans un autre sens. Il faut identifier le type d'équation avant d'appliquer la récurrence destinée aux racines carrées.

La fonction racine carrée replace l'extraction de √n dans l'étude d'une fonction, de son domaine et de ses variations.

La fiche Cardan Jérôme éclaire l'autre contexte attaché au nom de Bombelli : la résolution algébrique des équations cubiques.

L'article Les bâtons de Napier ouvre une perspective historique sur d'autres procédés matériels de calcul, dont l'extraction de racines.