Bombelli Raffaele

En 1572, en Italie, Raffaele Bombelli publie un ouvrage d’algèbre consacré notamment aux équations des troisième et quatrième degrés. Un calcul peut alors présenter un paradoxe apparent : la solution cherchée est réelle, mais la formule de Cardan oblige à passer par la racine carrée d’un nombre négatif.

Bombelli accepte ces nombres intermédiaires, leur donne des signes et fixe des règles pour les manipuler. Cette étape transforme un obstacle de calcul en outil et ouvre la voie aux nombres complexes.

Raffaele Bombelli (1526–1573) est un ingénieur et mathématicien italien. Formé auprès d’un ingénieur, il exerce lui-même cette profession et réalise des ouvrages de génie civil. Sa contribution majeure à l’algèbre paraît en 1572 dans Algebra, parte maggiore dell’aritmetica, divisa in tre libri. Il y reprend les travaux de Cardan sur les équations du troisième degré et la méthode de Ferrari pour celles du quatrième degré, avec une notation simplifiée et un raisonnement plus rigoureux.

La formule de Cardan peut faire apparaître des racines carrées de nombres négatifs alors même que l’équation cubique possède une solution réelle. Bombelli traite ces expressions comme des objets de calcul. Il distingue quatre signes, piu, meno, piu di meno et meno di meno, qui correspondent approximativement à +, −, +i et −i, puis énonce leurs règles d’opération. Ce travail constitue un point de départ pour la construction ultérieure des nombres complexes par Gauss.

Son ouvrage résout aussi des problèmes de Diophante et développe √2 en fraction continue à partir de l’équation $x=1+\frac{1}{1+x}x=1+\backslash frac\{1\}\{1+x\}$, procédé appelé algorithme de Bombelli. En partant par exemple de $x_0=1x\_0=1$ et en répétant cette relation, les itérés fournissent des approximations de √2 ; l’expression n’est pas définie pour $x=-1x=-1$. La source lui attribue également l’introduction du symbole des parenthèses et signale l’influence de ses travaux sur Stevin, Leibniz et Huygens.

Considérons l’équation $x^3-15x-4=0x^3-15x-4=0$. Les données sont le coefficient −15 de x et le terme constant −4. La formule de Cardan conduit aux deux expressions $\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}\backslash sqrt[3]\{2+\backslash sqrt\{-121\}\}$ et $\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}\backslash sqrt[3]\{2-\backslash sqrt\{-121\}\}$.

1. Introduisons le nombre i, défini par $i^2=-1i^2=-1$. Les radicandes deviennent 2 + 11i et 2 − 11i.

2. Calculons les cubes : $(2+i{)}^3=2+11i(2+i)^3=2+11i$ et $(2-i{)}^3=2-11i(2-i)^3=2-11i$. Les deux racines cubiques peuvent donc être prises égales aux nombres conjugués 2 + i et 2 − i ; leur produit vérifie aussi $(2+i)(2-i)=5(2+i)(2-i)=5$, conformément à la condition $uv=5uv=5$ de la méthode de Cardan.

3. Additionnons ces deux valeurs : $(2+i)+(2-i)=4(2+i)+(2-i)=4$. Les parties imaginaires s’annulent et donnent la solution réelle x = 4.

Le contrôle consiste à remplacer x par 4 dans l’équation : 4³ − 15 × 4 − 4 = 64 − 60 − 4 = 0. Le passage par des nombres imaginaires a donc produit une solution réelle vérifiable.

Pour suivre une résolution par la formule de Cardan, on ne rejette pas le calcul dès qu’une racine carrée négative apparaît. On introduit i, on effectue les opérations avec les termes conjugués, puis on vérifie la valeur réelle obtenue dans l’équation initiale.

Pour lire l’histoire de l’algèbre, on situe Bombelli entre la formule de Cardan qu’il clarifie et la construction ultérieure des nombres complexes. Ce repère est préférable à l’idée trompeuse qu’il aurait, à lui seul, achevé leur théorie moderne.

Pour approcher √2, on peut initialiser l’algorithme de Bombelli avec x = 1, puis remplacer à plusieurs reprises x par l’expression 1 + 1/(1 + x) : les itérés ainsi obtenus convergent vers √2. La valeur x = −1 est exclue, car l’expression n’y est pas définie. Une approximation décimale directe reste plus courte si seule une valeur numérique est recherchée ; la fraction continue montre, elle, la structure répétitive du calcul.

Bombelli et Cardan. Cardan est associé à la formule des équations cubiques ; Bombelli en clarifie l’usage lorsque des racines carrées négatives apparaissent. Dans l’exemple x³ − 15x − 4 = 0, la formule fournit le point de départ, tandis que les règles sur les imaginaires rendent le calcul exploitable.

Nombre imaginaire et nombre complexe. Un terme comme 11i est imaginaire pur, tandis que 2 + 11i possède une partie réelle et une partie imaginaire. Le second relève donc du cadre plus large des nombres complexes, dont les travaux de Bombelli constituent un point de départ.

Un détour complexe ne signifie pas une réponse non réelle. Dans l’équation x³ − 15x − 4 = 0, le symptôme est la présence de √−121 dans la formule. Il faut poursuivre avec i et les termes conjugués : leur somme vaut réellement 4.

Au moins une solution réelle ne signifie pas une solution unique. Une équation du troisième degré à coefficients réels possède au moins une solution réelle, mais elle peut en avoir plusieurs. Il faut donc vérifier toutes les solutions recherchées au lieu d’arrêter l’étude à la première.

Les quatre signes de Bombelli ne sont pas toute la notation moderne. Piu di meno et meno di meno correspondent approximativement à +i et −i. Pour un calcul actuel, il faut employer i et les règles des nombres complexes, sans transformer cette correspondance historique en identité de langage.

La méthode dépend du degré. Le traitement des équations cubiques est lié à la formule de Cardan ; la source associe les équations du quatrième degré à la méthode de Ferrari. On ne transpose donc pas une procédure à l’autre sans ramener d’abord le problème au cadre approprié.

Cardan Jérôme replace la formule des équations cubiques que Bombelli reprend et clarifie.

Ces fous d'équationsqui créèrent les imaginaires prolonge le parcours historique qui a rendu calculables les racines carrées négatives.