AlgèbreMéthode · Glossaire
méthode de Ferrari
La méthode de Ferrari est un procédé algébrique permettant de calculer les racines d'une équation polynomiale du quatrième degré (équation quartique). Elle a été découverte et développée par le mathématicien italien Ludovico Ferrari. La résolution d'une équation de degré 4 est ramenée, par une transformation ingénieuse, à celle d'une équation du troisième degré (équation résolvante cubique), dont on peut alors extraire les racines par la méthode de Cardan, avant de revenir aux solutions de l'équation initiale.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier le rôle de la résolvante cubique.
- Suivre la transformation d’une quartique en deux quadratiques.
- Vérifier les quatre racines sur un exemple exact.
- Reconnaître les cas où une autre voie est préférable.
En clair
Imaginez une équation où l’inconnue apparaît jusqu’à la puissance quatre. Chercher directement ses quatre racines semble difficile. Ferrari a trouvé un détour : il transforme l’expression pour y faire apparaître une différence de deux carrés.
Un paramètre bien choisi rend cette transformation possible. Sa valeur vient d’une équation cubique, appelée résolvante. Une fois ce paramètre trouvé, l’équation quartique se sépare en deux équations du second degré, beaucoup plus familières.
Définition
La méthode de Ferrari résout une équation quartique à coefficients réels ou complexes. Le coefficient du terme de degré quatre doit être non nul. Après division par ce coefficient, puis le changement d’inconnue qui supprime le terme cubique, l’équation prend la forme dite déprimée. Les lettres p, q et r désignent alors ses trois coefficients : .
On introduit un paramètre u. Il doit être une racine de la résolvante cubique :
Ce choix permet d’écrire le quartique comme une différence de deux carrés, puis comme le produit de deux polynômes du second degré. Chacun se résout avec la formule quadratique. La translation initiale restitue enfin les racines de l’équation d’origine.
Pour une équation à coefficients réels, certaines étapes peuvent passer par des nombres complexes, même lorsque toutes les racines finales sont réelles. Si q est nul, l’équation déprimée est bicarrée et le changement fournit un chemin plus direct.
Le principe
Pour une quartique dont le coefficient dominant n’est pas nul, normalisez d’abord l’équation, puis supprimez son terme cubique par une translation de l’inconnue.
Dans la forme , résolvez . Choisissez une racine u qui autorise les divisions et racines carrées de la factorisation.
Transformez alors le membre de gauche en différence de deux carrés, factorisez-le en deux quadratiques, résolvez celles-ci, puis annulez la translation initiale. Le point d’arrêt est atteint lorsque toutes les racines, avec leurs multiplicités, ont été obtenues.
Quand l'utiliser
La donnée de départ est un polynôme de degré exactement quatre : son coefficient dominant est non nul. Les quatre coefficients restants doivent appartenir à un cadre où les divisions nécessaires sont permises ; sur les nombres complexes, les racines carrées existent toujours. La méthode produit quatre racines comptées avec leur multiplicité.
Il faut pouvoir résoudre la cubique auxiliaire et choisir une racine qui ne rende pas la factorisation singulière. Les calculs exacts supposent aussi des coefficients connus exactement ; avec des coefficients mesurés ou arrondis, les racines héritent de cette incertitude.
Si le coefficient du terme de degré quatre vaut zéro, l’équation n’est pas quartique : la procédure s’arrête avant toute normalisation et une méthode de degré trois ou moins doit être employée.
Un exemple, pas à pas
Résolvons . L’équation est déjà normalisée et sans terme cubique. Ses données sont donc p = −15, q = −10 et r = 24.
1. La résolvante devient . La valeur u = 10 l’annule exactement.
2. La valeur choisie fait apparaître une différence de carrés :
En développant, on retrouve bien le polynôme de départ.
3. L’identité entre différence de carrés et produit donne .
4. Les deux quadratiques se factorisent en et . Les quatre racines sont donc −3, −2, 1 et 4.
Le chemin de calcul relie la quartique, sa résolvante et les deux quadratiques. Pour contrôler le résultat, leur somme vaut 0, comme l’absence de terme cubique l’exige, et leur produit vaut 24, le terme constant.
En pratique
Dans un exercice de calcul exact, la méthode est utile lorsqu’une quartique doit être résolue par radicaux. Le premier geste consiste à normaliser puis à supprimer le terme cubique ; une factorisation évidente reste toutefois plus courte si elle se présente.
Quand la forme déprimée ne contient aucun terme linéaire, le changement ramène directement le problème au second degré. Le coefficient linéaire nul est le critère observable qui fait préférer cette voie bicarrée.
Pour des coefficients décimaux issus de mesures, on cherche souvent des approximations numériques plutôt qu’une expression par radicaux. Une grande sensibilité aux arrondis ou des formules symboliques très longues font préférer un algorithme numérique, avec contrôle du résidu obtenu par substitution.
À ne pas confondre
Méthode de Ferrari et méthode de Cardan. Ferrari part d’une équation du quatrième degré et fabrique une cubique auxiliaire ; Cardan résout cette cubique. Face à une quartique générale, Cardan n’est donc qu’une étape du procédé de Ferrari.
Racine d’un polynôme et racine carrée. Un nombre est racine du polynôme si sa substitution donne zéro. Une racine carrée est un nombre dont le carré donne la valeur considérée. Ainsi, 4 est une racine de l’exemple, sans être la racine carrée de son terme constant 24.
Limites et pièges
Forme bicarrée. Si le coefficient q du terme linéaire est exactement nul dans la forme déprimée, la résolvante est inutilement lourde. Il faut poser et résoudre une quadratique en Y.
Choix singulier dans la résolvante. Certaines écritures de la factorisation divisent par une racine carrée de . Si la racine cubique choisie donne u = p, cette branche bloque ; il faut choisir une autre racine admissible ou traiter séparément le cas dégénéré.
Passage par les complexes. Un radical intermédiaire non réel ne prouve pas que l’équation n’a aucune racine réelle. Il faut poursuivre dans les nombres complexes, puis identifier les valeurs finales réelles lorsqu’elles existent.
Calcul approché. Avec des coefficients arrondis, une longue expression par radicaux peut amplifier les erreurs. Il faut alors employer un solveur numérique adapté et vérifier que le résidu du polynôme est petit à la précision demandée, plutôt que d’exiger zéro exactement.
Pour aller plus loin
L’entrée équation quartique replace la méthode dans l’étude générale des polynômes de degré quatre.
L’entrée cubique approfondit le type d’équation auxiliaire qui commande la factorisation de Ferrari.
L’entrée Racine double aide à interpréter les solutions répétées qu’une quartique peut posséder.
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