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équation quartique
Une équation quartique est une équation polynomiale de degré quatre, de la forme ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0 avec a ≠ 0. La première méthode générale de résolution par radicaux a été élaborée par Ludovico Ferrari et publiée par Jérôme Cardan dans l'Ars Magna. Elle repose sur une réduction à une équation cubique auxiliaire. Évariste Galois a par la suite démontré que les équations polynomiales de degré supérieur ou égal à 5 ne sont en général pas résolubles par radicaux, contrairement aux équations de degré 2, 3 et 4.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier une équation quartique à son coefficient de degré quatre non nul.
- Distinguer coefficients, racines réelles, racines complexes et multiplicités.
- Résoudre pas à pas x⁴ − 5x² + 4 = 0 par la substitution y = x².
- Reconnaître les cas où cette substitution particulière ne s'applique pas.
- Relier la méthode générale de Ferrari à une équation cubique auxiliaire et à la limite établie par Galois.
En clair
Imaginez une courbe qui peut couper l'axe horizontal en quatre endroits. Chercher ces points revient à trouver les nombres qui annulent une expression où la plus grande puissance de l'inconnue est x4. Cette puissance quatre donne son nom à l'équation quartique.
Certaines équations se factorisent rapidement. Pour une quartique quelconque, la méthode générale transforme le problème en plusieurs calculs plus simples, dont une équation cubique auxiliaire. Les solutions obtenues sont appelées les racines de l'équation.
Définition
Une équation quartique est une équation polynomiale dont l'inconnue, notée x, apparaît avec un terme de degré quatre. Si a, b, c, d et e désignent ses coefficients, sa forme générale est . Le coefficient a doit être non nul ; sinon, le degré devient au plus trois. Les coefficients b, c, d ou e peuvent en revanche être nuls.
Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les valeurs de x qui rendent le polynôme nul. Sur les nombres réels, elle peut avoir de zéro à quatre racines réelles distinctes. Sur les nombres complexes, elle possède quatre racines comptées avec leurs multiplicités. Une racine répétée compte plusieurs fois dans ce décompte.
Ludovico Ferrari a élaboré la première méthode générale de résolution par radicaux, publiée par Jérôme Cardan dans l'Ars Magna. Son principe réduit la quartique à une équation cubique auxiliaire. Cette possibilité s'arrête en général après le degré quatre : Évariste Galois a démontré que les équations polynomiales de degré au moins cinq ne sont pas, en général, résolubles par radicaux.
De quoi c'est fait
La structure d'une quartique repose sur cinq coefficients et une inconnue. Le coefficient dominant a accompagne x4 et fixe le degré quatre parce qu'il est non nul. Les coefficients b, c et d pondèrent respectivement x3, x2 et x. Le coefficient e est le terme constant. Enfin, le signe égal impose que la somme des termes ax4 + bx3 + cx2 + dx + e soit nulle.
Les valeurs nulles de b, c ou d créent des formes particulières sans changer nécessairement le degré. Si les termes impairs disparaissent, donc si b = d = 0, remplacer x2 par une nouvelle inconnue transforme la quartique en équation du second degré. En revanche, si a s'annule, l'objet n'est plus une équation quartique. Ces données suffisent à identifier l'équation et à choisir une stratégie de résolution.
Un exemple, pas à pas
Résolvons . Les données sont le coefficient 1 de x4, le coefficient −5 de x2 et le terme constant 4. Les termes en x3 et en x sont absents.
1. Posons y = x2. L'équation devient y2 − 5y + 4 = 0.
2. Factorisons le trinôme : y2 − 5y + 4 = (y − 1)(y − 4). Donc y = 1 ou y = 4.
3. Revenons à x. De x2 = 1, nous obtenons x = −1 ou x = 1. De x2 = 4, nous obtenons x = −2 ou x = 2.
Les quatre racines réelles sont donc −2, −1, 1 et 2. Le schéma de résolution rend visible le passage de l'équation quartique aux deux équations portant sur x2.
Pour contrôler, la factorisation complète est . Chacune des quatre valeurs annule bien un facteur.
En pratique
Devant une quartique, on cherche d'abord une factorisation ou une forme particulière. Lorsque seuls x4, x2 et le terme constant apparaissent, la substitution y = x2 est plus directe que la méthode générale de Ferrari.
Un tracé de la fonction polynomiale aide à estimer le nombre de racines réelles : chaque intersection avec l'axe horizontal en signale une. Il ne remplace pas un calcul exact lorsque les valeurs précises ou les multiplicités sont demandées.
Si aucune structure simple n'apparaît, un calcul formel peut appliquer une méthode exacte par radicaux. Pour un besoin numérique, une méthode d'approximation est souvent préférable : le critère est alors la précision attendue plutôt que la forme exacte des racines.
À ne pas confondre
Équation quartique et fonction quartique. L'équation demande les valeurs de x pour lesquelles le polynôme vaut zéro ; la fonction associe une valeur à chaque x. Ainsi, x4 − 5x2 + 4 = 0 est une question à résoudre, tandis que f(x) = x4 − 5x2 + 4 décrit toute une courbe.
Quartique et équation du quatrième degré dans une autre inconnue. Le nom ne dépend pas de la lettre choisie. L'équation t4 − 1 = 0 est quartique en t, car l'exposant maximal de l'inconnue est quatre.
Résolution par radicaux et approximation numérique. Une expression par radicaux utilise un nombre fini d'opérations arithmétiques et d'extractions de racines. Une valeur décimale arrondie, même très précise, est une approximation et non une telle expression exacte.
Limites et pièges
Coefficient dominant nul. Si a = 0 dans la forme générale, le terme en x4 disparaît. Le symptôme est un exposant maximal inférieur à quatre : il faut alors employer la méthode correspondant au degré réel du polynôme.
Racines répétées. Une quartique n'a pas toujours quatre solutions distinctes. L'équation (x − 1)4 = 0 n'a qu'une valeur solution, x = 1, mais cette racine est de multiplicité quatre. Il faut conserver la multiplicité lorsqu'elle compte dans le problème.
Racines non réelles. L'absence d'intersection avec l'axe horizontal ne signifie pas qu'une quartique n'a aucune racine complexe. Il faut préciser l'ensemble de nombres dans lequel on résout au lieu de conclure à partir du seul graphique réel.
Substitution trop vite généralisée. Le remplacement y = x2 résout directement les formes sans termes en x3 ni en x. Si ces termes impairs sont présents, cette réduction au second degré ne fonctionne pas ; la méthode générale passe notamment par une équation cubique auxiliaire.
Pour aller plus loin
Le degré d'un polynôme précise pourquoi seul le plus grand exposant au coefficient non nul détermine la nature de l'équation.
La fiche cubique présente le degré trois qui intervient comme équation auxiliaire dans la méthode générale de Ferrari.
L'équation du second degré approfondit la résolution du trinôme obtenu lorsque la quartique ne contient que des puissances paires.
La notice Galois Evariste replace la limite générale de la résolution par radicaux dans son prolongement historique.
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