Équation du second degré

Imaginons une courbe en forme de U qui coupe l’axe horizontal en deux points. Les abscisses de ces points sont les nombres qui annulent l’expression associée à la courbe. Résoudre une équation du second degré revient à chercher ces intersections.

Un nombre appelé discriminant annonce le résultat avant le calcul complet : deux intersections s’il est positif, une seule si elle est tangente à l’axe, aucune intersection réelle s’il est négatif.

Une équation du second degré à une inconnue est une égalité qui peut s’écrire sous la forme $a{x}^2+bx+c=0a\; x^2+b\; x+c=0$. L’inconnue est notée x. Les nombres a, b et c sont les coefficients, et a doit être non nul. Dans le cadre réel, ces trois coefficients sont réels.

Le discriminant, noté par la lettre grecque delta, dépend des trois coefficients : $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac\backslash Delta=b^2-4ac$. S’il est strictement positif, les deux solutions réelles sont $x_1=\frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}x\_1=\backslash frac\{-b-\backslash sqrt\{\backslash Delta\}\}\{2a\}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}x\_2=\backslash frac\{-b+\backslash sqrt\{\backslash Delta\}\}\{2a\}$. S’il est nul, ces deux valeurs se confondent en la racine double $x_0=\frac{-b}{2a}x\_0=\backslash frac\{-b\}\{2a\}$. S’il est négatif, il n’existe aucune solution réelle.

Dans le cadre des nombres complexes, le cas négatif donne deux solutions conjuguées. L’équation est liée au trinôme $a{x}^2+bx+ca\; x^2+b\; x+c$ : résoudre l’équation consiste à chercher les zéros de ce polynôme, donc les abscisses où sa parabole rencontre l’axe horizontal dans un repère réel.

L’équation réunit cinq éléments. L’inconnue x est le nombre recherché. Le coefficient a, non nul, accompagne le carré et garantit le second degré. Le coefficient b accompagne le terme en x. Le coefficient c est le terme constant. Enfin, le zéro placé à droite fixe la valeur que le trinôme doit atteindre.

Les trois coefficients déterminent ensemble le discriminant, puis le discriminant détermine le nombre de solutions réelles. Le signe de a fixe aussi l’orientation de la parabole : elle s’ouvre vers le haut si a est positif et vers le bas s’il est négatif. Les coefficients suffisent ainsi à calculer les racines et à construire la courbe associée ; la couleur ou l’échelle du dessin ne font pas partie de l’équation.

Résolvons $x^2-5x+6=0x^2-5x+6=0$. Les données sont le coefficient du carré a = 1, le coefficient de x b = −5 et le terme constant c = 6. L’objectif est de déterminer toutes les valeurs réelles de l’inconnue, sans en écarter ni en ajouter. La courbe associée coupe effectivement l’axe horizontal aux deux valeurs que le calcul va produire.

1. Calcul du discriminant : $\mathrm{\Delta }=(-5{)}^2-4\times 1\times 6=25-24=1\backslash Delta=(-5)^2-4\backslash times1\backslash times6=25-24=1$.

2. Comme le discriminant est positif, l’équation possède deux solutions réelles distinctes.

3. Application de la formule : $x_1=\frac{5-1}{2}=2x\_1=\backslash frac\{5-1\}\{2\}=2$ et $x_2=\frac{5+1}{2}=3x\_2=\backslash frac\{5+1\}\{2\}=3$.

Le résultat est donc x = 2 ou x = 3. Dans cet exemple sans grandeur mesurée, ces nombres n’ont pas d’unité. Le contrôle se refait indépendamment par substitution : 2² − 5 × 2 + 6 = 0 et 3² − 5 × 3 + 6 = 0. Chaque valeur annule bien le trinôme initial.

Pour résoudre une équation déjà écrite avec zéro à droite, on repère d’abord les trois coefficients. Le discriminant est préférable à une factorisation devinée lorsque les racines ne sont pas immédiatement visibles.

Lorsque le trinôme se factorise simplement, la forme produit peut être plus rapide. Dans l’exemple conducteur, $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$ : un produit est nul quand l’un de ses facteurs est nul, ce qui redonne 2 et 3.

Pour étudier la courbe plutôt que ses seules intersections, la forme canonique est souvent plus informative. Elle fait apparaître directement le sommet et l’axe de symétrie ; la forme développée reste, elle, adaptée au calcul du discriminant.

Une équation du second degré demande les valeurs de x qui rendent un trinôme nul. Une fonction du second degré associe au contraire une valeur à chaque x. Par exemple, $x^2-5x+6=0x^2-5x+6=0$ a deux solutions, tandis que $f(x)=x^2-5x+6f(x)=x^2-5x+6$ définit une fonction sur tous les réels.

Le discriminant n’est pas une solution de l’équation. C’est un nombre calculé à partir des coefficients qui indique combien de racines réelles chercher. Dans l’exemple, le discriminant vaut 1, mais les solutions sont 2 et 3.

Si a = 0, le terme carré disparaît : l’équation n’est plus du second degré. Il faut alors la traiter comme une équation du premier degré, ou comme une égalité constante si b est aussi nul.

Un discriminant nul ne signifie pas qu’il n’y a qu’une solution par hasard. Les deux formules donnent exactement la même valeur, appelée racine double, et la parabole touche l’axe horizontal sans le traverser.

Un discriminant négatif signifie « aucune solution » seulement si l’on travaille dans les nombres réels. Dans les nombres complexes, il existe deux racines conjuguées. Le domaine de nombres choisi doit donc être annoncé.

Avant d’identifier a, b et c, tous les termes doivent être rassemblés d’un même côté et réduits. Sinon, un signe peut être attribué au mauvais coefficient et fausser le discriminant.

Le discriminant réduit allège les calculs lorsque le coefficient du terme en x s’écrit b = 2b′ et conduit aux mêmes conclusions sur les racines.