AlgèbreNotion · Glossaire
Trinôme du second degré
Un trinôme du second degré à coefficients réels est un polynôme de la forme ax^2 + bx + c avec a non nul. Ses racines réelles sont données par la formule quadratique faisant intervenir le discriminant b^2 - 4ac. Si le discriminant est positif, le trinôme a deux racines réelles distinctes ; s'il est nul, il a une racine double ; s'il est négatif, il n'a pas de racine réelle mais deux racines complexes conjuguées.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les coefficients d’un trinôme du second degré.
- Calculer le discriminant et en déduire le nombre de racines réelles.
- Calculer deux racines exactes et contrôler la factorisation obtenue.
- Relier les racines, le signe et le sommet au graphe de la fonction associée.
En clair
Sur un graphique, la courbe d’un trinôme ressemble à un U, parfois renversé. Pour x² − 5x + 6, elle coupe l’axe horizontal aux nombres 2 et 3. Ces points indiquent les valeurs qui rendent le calcul nul.
Le discriminant joue le rôle d’un indicateur : son signe annonce si la courbe coupe cet axe deux fois, le touche une fois ou ne le rencontre pas.
Définition
Un trinôme du second degré est un polynôme en une variable réelle ou complexe, notée x. Il s’écrit , où les coefficients a, b et c sont des nombres du domaine choisi. Le coefficient a doit être non nul ; sinon le polynôme n’est plus du second degré.
Une racine est une valeur de x pour laquelle le trinôme vaut zéro. Le discriminant, noté par la lettre grecque delta, est le nombre . Sur les nombres réels, un discriminant positif donne deux racines distinctes, un discriminant nul donne une racine double et un discriminant négatif ne donne aucune racine réelle. Les deux racines du premier cas sont et . Si le discriminant est nul, leur valeur commune est .
Lorsque a, b et c sont réels, un discriminant négatif conduit, sur les nombres complexes, à deux racines complexes conjuguées. Le trinôme peut aussi s’écrire sous forme canonique, ce qui fait apparaître le sommet de sa courbe, ou sous forme factorisée lorsqu’une factorisation est disponible dans le domaine considéré.
Un exemple, pas à pas
On cherche les racines du trinôme x² − 5x + 6.
Le coefficient de x² vaut 1.
Le coefficient de x vaut −5.
Le terme constant vaut 6.
Le coefficient de x² vaut 1.
Le coefficient de x vaut −5.
Le terme constant vaut 6.
1. Le discriminant vaut . Il est strictement positif, donc deux racines réelles distinctes existent.
2. La première racine vaut .
3. La seconde racine vaut .
4. Le trinôme se factorise donc sous la forme .
Le résultat est contrôlable en remplaçant x par 2 puis par 3 : les deux produits obtenus valent zéro. Le graphe associé montre aussi les deux intersections et le sommet situé entre elles.
En pratique
Pour résoudre une équation du second degré, on calcule le discriminant lorsque la factorisation n’est pas visible. Si des facteurs simples apparaissent déjà, la forme factorisée donne plus directement les racines.
Pour étudier le signe d’un trinôme à coefficients réels, on place ses racines réelles sur une droite. Avec deux racines, le signe entre elles est opposé à celui du coefficient de x² ; sans racine réelle, il reste celui de ce coefficient.
Pour lire un minimum ou un maximum, la forme canonique est préférable. Ici, : le carré est minimal lorsqu’il vaut zéro, donc pour x = 2,5. Le minimum est alors −0,25 et le sommet a pour coordonnées (2,5 ; −0,25).
À ne pas confondre
Trinôme et équation du second degré. Le trinôme est l’expression ax² + bx + c ; l’équation demande quand cette expression vaut zéro. Ainsi, x² − 5x + 6 est un trinôme, tandis que x² − 5x + 6 = 0 est une équation.
Trinôme et fonction polynôme. Le trinôme est une expression algébrique ; la fonction associe à chaque valeur de x la valeur de cette expression. Le tracé d’une parabole concerne la fonction, même si l’on parle couramment de la courbe du trinôme.
Limites et pièges
Coefficient dominant nul. Si le coefficient de x² vaut 0, la formule quadratique conduirait à une division par zéro. L’expression est alors du premier degré, ou constante, et doit être traitée comme telle.
Discriminant négatif. L’absence de racine signifie seulement l’absence de racine réelle. Dans le domaine complexe, deux racines conjuguées existent pour un trinôme à coefficients réels dont le discriminant est strictement négatif.
Discriminant nul. La racine double ne fournit pas deux valeurs différentes. La courbe touche l’axe horizontal en ce point sans le traverser, et le signe du trinôme ne change pas de part et d’autre.
Domaine de factorisation. Dire qu’un trinôme ne se factorise pas exige de préciser le domaine. Un discriminant négatif empêche une factorisation en facteurs linéaires réels, mais pas en facteurs linéaires complexes.
Pour aller plus loin
La notion de Forme canonique fait apparaître directement le sommet de la parabole et relie sa hauteur au discriminant.
La fiche fonction polynôme replace le trinôme parmi les fonctions définies par des expressions polynomiales.
Le Discriminant réduit propose une variante de calcul adaptée lorsque le coefficient du terme en x est pair.
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