zéro d'un polynôme

Imaginez un polynôme comme une machine qui reçoit un nombre et en renvoie un autre. Avec P(x) = x² − 5x + 6, l'entrée 2 donne P(2) = 0. Le nombre 2 est donc un zéro de P. L'entrée 3 donne également 0 : un même polynôme peut avoir plusieurs zéros. Sur le graphique, ces valeurs se repèrent aux endroits où la courbe rencontre l'axe horizontal.

Soit un polynôme nommé P et un nombre a appartenant au domaine dans lequel on travaille. Le nombre a est un zéro, ou une racine, de P lorsque l'évaluation de P en a donne zéro : $P(a)=0P(a)=0$. Chercher les zéros de P revient donc à résoudre l'équation polynomiale P(x) = 0.

Dans l'exemple P(x) = x² − 5x + 6, les nombres 2 et 3 sont des zéros. La factorisation P(x) = (x − 2)(x − 3) rend cette propriété visible : un produit est nul lorsqu'au moins un de ses facteurs est nul. Un même zéro peut apparaître plusieurs fois dans une factorisation ; son nombre d'apparitions est sa multiplicité.

Le domaine doit être précisé. Par exemple, x² + 1 n'a aucun zéro parmi les nombres réels, mais possède les zéros i et −i parmi les nombres complexes. Pour un polynôme non nul de degré n à coefficients dans un corps, il existe au plus n zéros distincts dans ce corps.

La notion repose sur cinq éléments. Le polynôme P fournit la règle de calcul ; la lettre x représente son entrée variable ; le domaine indique les nombres autorisés ; le nombre testé a remplace x ; enfin, la valeur P(a) est le résultat de cette substitution. Le nombre a ne devient une racine que si ce résultat vaut exactement zéro.

Les coefficients, avec la valeur a choisie, déterminent P(a), tandis que le domaine fixe les valeurs de a admissibles. L'écriture ou le tracé du polynôme peuvent changer sans modifier ses zéros : x² − 5x + 6 et (x − 2)(x − 3) décrivent le même polynôme. Ces données suffisent à tester une valeur, résoudre P(x) = 0 ou repérer les intersections de la courbe avec l'axe horizontal.

Cherchons les zéros du polynôme P défini par P(x) = x² − 5x + 6, parmi les nombres réels. Les données sont les coefficients 1, −5 et 6, ainsi que la valeur cible 0.

1. Factoriser. Deux nombres dont le produit vaut 6 et la somme 5 sont 2 et 3. On obtient P(x) = (x − 2)(x − 3).

2. Annuler chaque facteur. Le produit vaut zéro lorsque x − 2 = 0 ou x − 3 = 0. Les deux valeurs candidates sont donc x = 2 et x = 3.

3. Vérifier par substitution.
P(2) = 2² − 5 × 2 + 6 = 4 − 10 + 6 = 0.
P(3) = 3² − 5 × 3 + 6 = 9 − 15 + 6 = 0.

Les zéros réels de P sont donc exactement 2 et 3. Le tracé de la courbe confirme le calcul : elle coupe l'axe horizontal aux points de coordonnées (2 ; 0) et (3 ; 0).

Pour résoudre une équation polynomiale P(x) = 0, on cherche ses zéros. Lorsque P se factorise aisément, la forme factorisée est préférable : chaque facteur fournit directement une valeur candidate.

Pour contrôler une valeur proposée, on la substitue à x. Si le résultat calculé est exactement 0, la valeur est une racine. Sinon, elle ne l'est pas ; cette vérification évite de retenir une solution issue d'une erreur de calcul.

Quand la factorisation n'est pas visible, un graphique aide à localiser des racines réelles, puis une méthode algébrique ou numérique les détermine. Le graphique seul donne souvent une valeur approchée ; la substitution permet ensuite de contrôler une valeur exacte supposée.

Un zéro et un coefficient nul. Un zéro est une valeur de x qui annule tout le polynôme ; un coefficient nul signifie seulement qu'un terme manque. Ainsi, x² − 1 n'a pas de terme en x, mais ses zéros sont −1 et 1.

Une racine et un point du graphique. La racine est le nombre 2, tandis que le point correspondant sur la courbe est (2 ; 0). Le critère est la nature de l'objet : une abscisse d'un côté, un couple de coordonnées de l'autre.

Résoudre P(x) = 0 et résoudre P(x) = b. Si la valeur cible b n'est pas nulle, les solutions ne sont pas des zéros de P. Elles sont les zéros du polynôme P − b.

Polynôme nul. Si tous les coefficients sont nuls, P(a) = 0 pour toute valeur a du domaine. Il possède donc tous les nombres du domaine comme zéros et son degré n'est pas défini selon la convention usuelle ; la borne liée au degré ne s'applique pas.

Polynôme constant non nul. Si P(x) vaut toujours 4, aucune substitution ne donne 0. Ce polynôme n'a aucun zéro, même si son expression ne contient pas x.

Domaine oublié. Le polynôme x² + 1 n'a pas de racine réelle, mais il a les racines complexes i et −i. Avant de conclure qu'aucun zéro n'existe, il faut préciser l'ensemble de nombres considéré.

Racine multiple. Dans (x − 2)², le nombre 2 est une racine de multiplicité 2, mais reste un seul zéro distinct. Sur un graphique réel, la courbe peut toucher l'axe sans le traverser ; il faut examiner la factorisation ou le signe, pas seulement compter les croisements.

La fiche Factorisation montre comment transformer un polynôme en produit afin d'en faire apparaître les racines.

La fiche fonction polynôme relie l'expression algébrique au graphe et situe les zéros comme des antécédents de 0.