AlgèbreObjet mathématique · Glossaire
fonction polynôme
Une fonction polynôme, ou fonction polynomiale, est une fonction définie sur un anneau commutatif K — le plus souvent un corps comme ℝ ou ℂ — par une expression de la forme f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀, où les coefficients aᵢ appartiennent à K et n est un entier naturel appelé degré du polynôme (lorsque aₙ ≠ 0). Les fonctions polynômes comptent parmi les fonctions les plus simples et les mieux comprises : elles sont indéfiniment dérivables, et le calcul de leurs dérivées et primitives s'effectue sans difficulté par les règles élémentaires. Elles constituent des outils d'approximation fondamentaux pour des fonctions plus complexes, notamment via les développements limités et la formule de Taylor. Selon leur degré, on distingue les fonctions constantes (degré 0), affines (degré 1), quadratiques (degré 2) et cubiques (degré 3). Les valeurs x pour lesquelles f(x) = 0 sont les racines du polynôme. La recherche des racines dans ℝ et dans ℂ constitue l'un des problèmes historiques majeurs des mathématiques, depuis les formules closes du second et troisième degré jusqu'au théorème d'Abel-Ruffini.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les coefficients et le degré d'une fonction polynôme.
- Calculer des valeurs et vérifier deux racines par factorisation.
- Distinguer un polynôme, une fonction polynôme et l'équation associée.
- Repérer les cas du polynôme nul et des racines réelles ou complexes.
En clair
Imaginez une machine qui reçoit un nombre x et combine seulement des additions, des multiplications et des puissances entières positives ou nulles de x. Avec la règle f(x) = x2 − 3x + 2, l'entrée 0 donne 2, tandis que les entrées 1 et 2 donnent 0.
Une fonction polynôme assemble ainsi un nombre fini de termes. Chaque terme associe une puissance de x à un coefficient. La plus grande puissance présente indique le degré, et les entrées qui donnent 0 sont les racines.
Définition
Une fonction polynôme, aussi appelée fonction polynomiale, associe à chaque élément x d'un anneau commutatif K une valeur donnée par une somme finie. Le plus souvent, K est le corps des nombres réels ℝ ou celui des nombres complexes ℂ. En notant a0, a1, …, an les coefficients appartenant à K, cette somme s'écrit .
L'entier naturel n est le degré lorsque le coefficient an n'est pas nul et qu'aucune puissance supérieure n'a de coefficient non nul. Une fonction polynôme constante non nulle est de degré 0 ; le polynôme nul n'a pas de degré défini. Les degrés 1, 2 et 3 correspondent respectivement aux fonctions affines, quadratiques et cubiques. Une valeur x telle que f(x) = 0 est une racine.
Sur ℝ ou ℂ, ces fonctions sont indéfiniment dérivables, et leurs dérivées comme leurs primitives se calculent terme par terme avec les règles élémentaires. Elles servent aussi à approcher localement des fonctions plus complexes au moyen des développements limités et de la formule de Taylor. La recherche de leurs racines, réelles ou complexes, relie les formules des degrés 2 et 3 au théorème d'Abel-Ruffini.
De quoi c'est fait
Dans f(x) = x2 − 3x + 2, la variable x reçoit la valeur d'entrée. Les puissances x2, x et 1 organisent les termes. Les coefficients 1, −3 et 2 indiquent combien de fois chacun de ces termes intervient, puis l'addition forme la valeur de sortie.
Le coefficient 1 associé à la plus haute puissance non nulle fixe ici le degré 2. Le terme constant 2 donne directement f(0). Coefficients et puissances doivent être lus ensemble : une puissance dont le coefficient est nul disparaît de l'expression et ne fixe pas le degré. La liste complète des coefficients suffit à calculer f(x) pour toute entrée et à chercher les racines.
Un exemple, pas à pas
Considérons la fonction f qui associe au nombre réel x la valeur . Nous voulons calculer quelques valeurs et repérer ses racines.
Données. Les coefficients sont 1, −3 et 2 ; le degré est 2 ; les trois entrées testées sont 0, 1 et 2.
Étape 1. Pour x = 0, on obtient f(0) = 0 − 0 + 2 = 2.
Étape 2. Pour x = 1, on obtient f(1) = 1 − 3 + 2 = 0.
Étape 3. Pour x = 2, on obtient f(2) = 4 − 6 + 2 = 0.
Étape 4. On contrôle ces deux zéros en factorisant l'expression.
Étape 2. Pour x = 1, on obtient f(1) = 1 − 3 + 2 = 0.
Étape 3. Pour x = 2, on obtient f(2) = 4 − 6 + 2 = 0.
Étape 4. On contrôle ces deux zéros en factorisant l'expression.
Le produit s'annule pour x = 1 ou x = 2 : ce sont donc les deux racines réelles. En redéveloppant (x − 1)(x − 2), on retrouve x2 − 3x + 2, ce qui fournit un contrôle refaisable. La courbe associée coupe l'axe horizontal aux deux entrées qui donnent zéro et passe par le point d'ordonnée 2 lorsque x vaut 0.
En pratique
Pour calculer une sortie, on remplace x par la valeur choisie et on effectue les puissances, les multiplications, puis les additions. Si la relation observée est une droite non horizontale, une fonction affine non constante de degré 1 suffit ; une relation constante est de degré 0. Un terme de degré 2 devient utile lorsque la courbure ne peut plus être ignorée.
Pour résoudre f(x) = 0, on cherche les racines. Une factorisation lisible, comme (x − 1)(x − 2), donne immédiatement les solutions ; lorsqu'elle n'apparaît pas, une méthode adaptée au degré et au corps ℝ ou ℂ est nécessaire.
Pour approcher localement une fonction plus complexe, un polynôme issu d'un développement limité ou de la formule de Taylor remplace temporairement la fonction près d'un point. On préfère la fonction exacte dès que sa valeur se calcule directement ; l'approximation sert lorsque le polynôme rend le calcul ou l'étude plus maniable.
À ne pas confondre
Polynôme et fonction polynôme. Le polynôme est l'expression formée de coefficients et de puissances ; la fonction est la règle qui évalue cette expression pour chaque entrée. Écrire x2 − 3x + 2 présente un polynôme, tandis que f(x) = x2 − 3x + 2 définit la fonction associée.
Fonction polynôme et équation polynomiale. La fonction fournit une valeur pour chaque x. L'équation f(x) = 0 demande seulement quelles entrées donnent zéro. Dans l'exemple, la fonction existe pour tout réel, alors que l'équation retient les solutions 1 et 2.
Racine et valeur à l'origine. Une racine est une entrée x pour laquelle f(x) vaut 0 ; la valeur à l'origine est f(0), donc le terme constant. Ici, 1 et 2 sont les racines, tandis que f(0) = 2.
Limites et pièges
Des zéros placés en tête ne changent pas le degré. L'écriture 0x3 + x2 − 3x + 2 reste de degré 2, car le degré est la plus grande puissance dont le coefficient est non nul. Il faut donc supprimer mentalement les termes nuls avant de l'annoncer.
Le polynôme nul est un cas à part. Si tous les coefficients valent 0, la condition an ≠ 0 ne peut être satisfaite : son degré n'est pas 0 selon la convention usuelle. De plus, chaque x est alors une racine, et non une liste finie de valeurs à chercher.
Les racines dépendent du corps choisi. La fonction x ↦ x2 + 1 n'a aucune racine dans ℝ, mais elle en a deux dans ℂ, i et −i. Avant de conclure qu'une racine n'existe pas, il faut donc préciser si la recherche a lieu parmi les réels ou les complexes.
Le degré change la méthode de résolution. Des formules closes existent pour les degrés 2 et 3, mais le théorème d'Abel-Ruffini exclut une formule générale par radicaux à partir du degré 5. Il ne dit pas qu'aucun polynôme de degré 5 ne se résout : il faut examiner le polynôme particulier ou employer une approximation de ses racines.
Pour aller plus loin
fonction affine — Situer précisément le cas de degré 1 dans la famille des fonctions polynômes.
Développements limités — Voir comment un polynôme décrit localement une fonction plus complexe.
Approcher une fonction et épouser sa courbe — Prolonger l'idée d'approximation polynomiale par une lecture géométrique de la courbe.
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