AnalyseObjet mathématique · Glossaire
fonction affine
Une fonction affine est une fonction f définie de ℝ dans ℝ. Deux réels donnés la caractérisent : a, le coefficient directeur, mesure la variation de f par unité d'accroissement de x ; b, l'ordonnée à l'origine, est la valeur de f en 0. Elle s'écrit f(x) = ax + b. Sa représentation graphique dans un repère cartésien est une droite.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Lire le rôle du coefficient directeur a et de l'ordonnée à l'origine b.
- Calculer une image avec la règle f(x) = ax + b.
- Relier une variation constante à la droite représentative.
- Identifier les cas linéaire et constant ainsi que leurs conditions.
En clair
Un service facture 3 € de prise en charge, puis 2 € par kilomètre. À 1 km, le prix est 5 € ; à 4 km, il est 11 €. Chaque kilomètre supplémentaire ajoute toujours 2 €, tandis que les 3 € restent fixes.
Cette règle est affine : elle associe à une distance un prix formé d'une part variable et d'une valeur de départ. Sur un graphique, les prix obtenus s'alignent sur une droite.
Définition
Une fonction affine associe à tout nombre réel x un nombre réel noté f(x). Deux nombres réels fixes déterminent cette association : le nombre a, appelé coefficient directeur, et le nombre b, appelé ordonnée à l'origine. La règle s'écrit .
Pour deux nombres réels distincts x1 et x2, la variation des images est proportionnelle à celle des entrées : . Le nombre a mesure donc la variation de f pour une unité supplémentaire de x, et b vaut f(0). Dans un repère cartésien, la représentation graphique est la droite d'équation .
Si b = 0, la fonction affine est dite linéaire et sa droite passe par l'origine. Si a = 0, elle est constante et sa droite est horizontale. Lorsque a n'est pas nul, il s'agit de l'une des formes les plus simples de fonction non constante, utilisée comme modèle de base en analyse et en algèbre.
De quoi c'est fait
Une fonction affine réunit cinq éléments. La variable réelle x est l'entrée, et l'image réelle f(x) est la sortie. Le coefficient directeur a fixe la variation de la sortie quand l'entrée augmente d'une unité. L'ordonnée à l'origine b fixe la sortie pour x = 0. Enfin, la règle relie ces quatre données.
Le coefficient a détermine la direction de la droite, tandis que b détermine son passage sur l'axe vertical. Ensemble, ils suffisent à calculer toute image et à tracer la droite. La couleur, l'épaisseur ou l'échelle du dessin ne définissent pas la fonction ; seules la règle et les valeurs de a et b le font.
Un exemple, pas à pas
Un service applique un prix de départ de 3 €, puis ajoute 2 € par kilomètre. La distance, notée x, est mesurée en kilomètres. Le prix, noté f(x), est mesuré en euros. Les données sont donc a = 2 €/km et b = 3 €.
1. Écrivez la règle avec les deux données : .
2. Pour 1 km, remplacez x par 1 : f(1) = 2 × 1 + 3 = 5 €.
3. Pour 4 km, remplacez x par 4 : f(4) = 2 × 4 + 3 = 11 €.
4. Comparez les deux trajets : la distance augmente de 4 − 1 = 3 km et le prix de 11 − 5 = 6 €.
2. Pour 1 km, remplacez x par 1 : f(1) = 2 × 1 + 3 = 5 €.
3. Pour 4 km, remplacez x par 4 : f(4) = 2 × 4 + 3 = 11 €.
4. Comparez les deux trajets : la distance augmente de 4 − 1 = 3 km et le prix de 11 − 5 = 6 €.
Le service facture donc 11 € pour 4 km. Le contrôle porte sur la variation : 3 km supplémentaires à 2 €/km ajoutent 3 × 2 = 6 € ; en partant de 5 €, on retrouve bien 11 €. La représentation montre aussi que la droite passe par l'ordonnée 3 lorsque la distance vaut 0.
En pratique
Pour calculer une valeur, on remplace x dans la règle. Avec f(x) = 2x + 3, une distance de 4 km donne 11 €. Si le tarif par kilomètre change selon des tranches, une seule fonction affine ne suffit plus.
Pour retrouver la règle à partir d'un graphique, on lit d'abord la valeur à l'origine, puis la variation verticale pour une unité horizontale. Les points (1 ; 5) et (4 ; 11) donnent une variation de 6 pour 3, soit un coefficient de 2, puis l'ordonnée à l'origine 3.
Pour modéliser une situation, on vérifie que l'accroissement reste constant. Si chaque kilomètre ajoute toujours 2 €, le modèle affine convient. Si l'accroissement varie avec la distance, il faut choisir un autre modèle ou plusieurs règles.
À ne pas confondre
Une fonction affine est une règle qui associe une image à chaque nombre réel, tandis que le coefficient directeur est seulement le nombre a de cette règle. Dans f(x) = 2x + 3, la fonction est l'association complète et son coefficient directeur vaut 2.
La fonction ne se confond pas non plus avec sa droite représentative. La fonction transforme une entrée x en une sortie f(x) ; la droite est l'ensemble des points de coordonnées (x ; f(x)). Le point (4 ; 11) appartient ainsi au graphique de la fonction de l'exemple.
Limites et pièges
Lorsque b = 0, la fonction est linéaire : , et sa droite passe par l'origine. Une fonction linéaire est donc aussi affine ; l'exclure de la famille serait une erreur.
Lorsque a = 0, la fonction est constante : . Sa droite est horizontale. Si a = 0 et b = 0, la fonction est à la fois constante et linéaire.
Le nombre b est la valeur de la règle en 0, mais cette valeur n'est pas toujours interprétable dans le modèle concret. Pour un prix selon une distance, la règle mathématique peut être définie sur ℝ alors que les distances physiques retenues satisfont x ≥ 0.
Deux points de la droite déterminent le coefficient directeur seulement si leurs abscisses sont distinctes. Le quotient vaut alors a. Si les deux abscisses sont égales, le dénominateur vaut 0 et ce calcul est impossible.
Pour aller plus loin
coefficient directeur — Retrouvez le calcul de la variation verticale rapportée à la variation horizontale.
Pente — Reliez le coefficient a à l'inclinaison de la droite dans un repère.
fonction constante — Approfondissez le cas affine où le coefficient directeur vaut exactement 0.
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