fonction constante

Imaginez une machine qui reçoit différents nombres, mais affiche toujours 3. Que l'on entre −2, 0 ou 4, sa sortie ne change pas. Cette machine représente une fonction constante : toutes les entrées ont la même image.

Sur un graphique, cette absence de variation forme une ligne horizontale. Une fonction en escalier reprend la même idée par zones : elle garde une valeur sur un intervalle, puis peut passer à une autre valeur au palier suivant.

Soient un ensemble de départ E, un ensemble d'arrivée F et une fonction f de E vers F. La fonction f est constante lorsqu'il existe un élément c de F tel que chaque élément x de E ait pour image c. Cette condition s'écrit $\mathrm{\forall }x\in E,f(x)=c\backslash forall\; x\; \backslash in\; E,\backslash \; f(x)=c$. La valeur c est l'unique valeur prise lorsque E n'est pas vide. Pour une fonction numérique, son graphique est contenu dans la droite horizontale d'équation y = c ; si son domaine est un intervalle, il en forme le segment ou la droite correspondant à ce domaine.

Sur un intervalle fermé [a ; b], une fonction numérique est constante par morceaux, ou en escalier, si une subdivision finie a = x₀ < x₁ < … < xₙ = b partage l'intervalle en morceaux et si la fonction est constante sur chaque intervalle ouvert ]xᵢ ; xᵢ₊₁[. Les constantes peuvent différer d'un morceau à l'autre. Cette définition n'impose pas à elle seule la valeur prise aux points de subdivision. Les fonctions en escalier servent notamment à encadrer ou approcher des fonctions plus générales dans la construction de l'intégrale de Riemann.

Une fonction constante réunit quatre données. L'ensemble E fournit les entrées possibles ; l'ensemble F contient les sorties autorisées ; la fonction f associe une sortie à chaque entrée ; enfin, la valeur c est l'image commune. Il faut que c appartienne à F pour que la règle définisse bien une fonction de E vers F. Quand E n'est pas vide, la règle impose c dès que l'on connaît l'image d'un seul élément.

Pour une fonction en escalier sur [a ; b], la subdivision ajoute des bornes ordonnées x₀, x₁, …, xₙ. Chaque paire de bornes consécutives délimite un palier, auquel correspond une valeur constante. Ces bornes et ces valeurs suffisent à construire les paliers sur les intervalles ouverts ; les valeurs aux points de subdivision doivent être précisées séparément pour déterminer la fonction complète. La couleur, l'épaisseur du tracé et l'échelle choisie n'appartiennent pas à la définition mathématique.

Considérons une fonction numérique h sur l'intervalle [0 ; 4]. Données. La subdivision est 0 < 2 < 4. Sur ]0 ; 2[, la valeur de h est 2 ; sur ]2 ; 4[, elle vaut 5. Fixons aussi h(0) = 2, h(2) = 5 et h(4) = 5.

1. Entre 0 et 2, les entrées changent mais l'image reste 2 : le premier palier est constant.

2. Entre 2 et 4, l'image reste 5 : le second palier est lui aussi constant.

3. Les deux intervalles ouverts proviennent d'une subdivision finie de [0 ; 4]. La fonction h est donc une fonction en escalier, mais elle n'est pas constante sur tout [0 ; 4], puisque h(1) = 2 et h(3) = 5.

Son intégrale sur [0 ; 4] est l'aire des deux rectangles : ${\int }_0^{4}h(x)dx=2\times 2+5\times 2=14\backslash int\_0^4\; h(x)\backslash ,dx=2\backslash times2+5\backslash times2=14$. Le contrôle consiste à retrouver les deux largeurs, égales à 2, puis à additionner les aires 4 et 10.

Pour reconnaître une fonction constante dans un tableau de valeurs, on compare toutes les images indiquées. Si elles sont identiques sur le domaine observé, le tableau est compatible avec une fonction constante ; sinon, il faut décrire la variation réellement présente.

Sur un graphique, on vérifie que tous les points ont la même ordonnée. Un tracé horizontal signale une valeur constante. Plusieurs segments horizontaux placés à des hauteurs différentes signalent plutôt une fonction en escalier.

Pour calculer l'intégrale d'une fonction en escalier, on traite chaque palier comme un rectangle : sa largeur vient de la subdivision et sa hauteur de la valeur constante. Si la fonction varie à l'intérieur d'un morceau, ce calcul direct ne convient plus ; une subdivision plus fine ou une autre méthode est nécessaire.

Fonction affine non constante. Une fonction affine a une expression de la forme x ↦ mx + p. Sur un domaine contenant au moins deux éléments distincts, elle est constante exactement lorsque son coefficient directeur m vaut 0. Ainsi, x ↦ 3 est constante, tandis que x ↦ 2x + 3 ne l'est pas sur un tel domaine, car ses images changent avec x.

Fonction identité. La fonction identité renvoie chaque entrée elle-même. Sur un domaine contenant au moins deux éléments distincts, ses images sont distinctes et elle n'est pas constante. Sur le singleton {3}, en revanche, la fonction identité a pour seule image 3 et elle est constante sur ce domaine.

Domaine vide. Si E est vide et F non vide, la condition « pour tout x de E » est satisfaite quel que soit le choix de c dans F. La fonction vide est donc constante, mais sa valeur constante n'est pas unique lorsque F contient plusieurs éléments. Si F est vide, aucun c n'appartient à F : la fonction vide n'est alors pas constante selon cette définition.

Domaine réduit à un point. Toute fonction définie sur un singleton est constante : il n'existe pas deux entrées auxquelles comparer des images. Il faut regarder le domaine avant de conclure qu'une expression est globalement constante.

Points de subdivision. Être constante sur les intervalles ouverts ]xᵢ ; xᵢ₊₁[ ne fixe pas les valeurs aux bornes xᵢ. Un point isolé peut donc apparaître à une autre hauteur sans supprimer les paliers. Il faut préciser séparément les valeurs aux bornes si le graphe complet ou la continuité sont étudiés.

Faux saut. Deux morceaux voisins peuvent porter la même valeur. La subdivision reste valable, mais la borne commune ne marque alors aucun changement de palier. On peut supprimer cette borne pour obtenir une subdivision plus simple seulement si la valeur de la fonction en ce point est aussi égale à la valeur commune.

Les fonctions en escalier donnent une première manière de construire une aire sous une courbe : chaque palier produit un rectangle dont l'aire se calcule exactement. En choisissant des subdivisions de plus en plus fines et des paliers qui encadrent une fonction, on prépare l'idée des sommes de Riemann et de leur limite. Cette transition demande toutefois des hypothèses supplémentaires sur la fonction approchée ; elle ne découle pas de la seule définition d'une fonction constante.