AnalyseObjet mathématique · Glossaire
fonction affine par morceaux
Une fonction affine par morceaux est une fonction définie sur une réunion d'intervalles réels, dont la restriction à chacun est affine. Son graphe est donc formé de segments de droite et, lorsqu'un intervalle est réduit à un point, de points isolés ; les segments peuvent se raccorder ou présenter des sauts selon les valeurs et l'inclusion des bornes. Elle sert notamment à représenter simplement des phénomènes par phases et à approcher des fonctions plus complexes.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Lire les intervalles et les règles affines qui composent la fonction.
- Vérifier par le calcul si deux morceaux se raccordent ou forment un saut.
- Distinguer fonction affine globale, fonction en escalier et fonction donnée par morceaux.
- Relier l'approximation affine à la méthode des trapèzes.
En clair
Imaginez un trajet dont la vitesse augmente régulièrement, diminue ensuite, puis change brusquement. Chaque phase se dessine par un segment de droite, mais une formule différente peut gouverner chaque intervalle. L'ensemble forme une fonction affine par morceaux.
Aux frontières, deux segments peuvent se rejoindre sans rupture ou laisser un saut. Un point plein indique une valeur retenue ; un point vide signale une extrémité exclue.
Définition
Une fonction affine par morceaux est définie sur une réunion d'intervalles réels. Sur chaque intervalle Ii, elle coïncide avec une fonction affine : le nombre ai en est le coefficient directeur et le nombre bi l'ordonnée à l'origine. Cette règle s'écrit . Les coefficients peuvent changer d'un intervalle à l'autre, ce qui produit une succession de segments, de demi-droites ou de points isolés lorsqu'un intervalle est réduit à un point.
Les intervalles et leurs extrémités font partie de la définition. À une frontière commune, il faut préciser quel morceau fournit la valeur, grâce à des bornes incluses ou exclues. Si les limites des morceaux voisins et la valeur de la fonction coïncident, le graphe se raccorde et la fonction est continue à cet endroit. Sinon, un saut ou un trou peut apparaître.
Une fonction en escalier est un cas particulier : chaque coefficient directeur vaut zéro. La partie entière et la fonction de Heaviside fournissent des exemples classiques. En analyse numérique, des morceaux affines approchent aussi une fonction plus complexe ; la méthode des trapèzes exploite précisément cette idée pour une intégrale.
De quoi c'est fait
La structure comporte cinq éléments. Le domaine indique les nombres auxquels la fonction s'applique. Les intervalles découpent ce domaine. Une règle affine associe à chaque intervalle une pente et une ordonnée à l'origine. Les bornes précisent, par leur inclusion ou leur exclusion, quelle valeur existe aux changements de règle. Enfin, le graphe traduit ces données en segments et en points.
La règle ne peut donc pas être lue sans son intervalle, et le comportement à une borne dépend à la fois des deux règles voisines et de la valeur retenue. Le domaine, le découpage, les formules et les conventions de bornes suffisent à calculer chaque image et à construire le graphe. La couleur, l'épaisseur ou l'échelle du dessin ne définissent pas la fonction.
Un exemple, pas à pas
On étudie une fonction f sur l'intervalle [0, 4]. Ses trois données sont : la règle x + 1 de 0 à 2, bornes incluses ; la règle 5 − x entre 2 et 3, bornes exclues ; la règle x de 3 à 4, bornes incluses.
1. Sur [0, 2], les extrémités calculées sont f(0) = 1 et f(2) = 3.
2. Quand x approche 2 par la droite, 5 − x approche aussi 3 : les deux segments se raccordent.
3. Quand x approche 3 par la gauche, 5 − x approche 2, mais la troisième règle donne f(3) = 3.
4. Le graphe présente donc en x = 3 un saut de hauteur 1.
2. Quand x approche 2 par la droite, 5 − x approche aussi 3 : les deux segments se raccordent.
3. Quand x approche 3 par la gauche, 5 − x approche 2, mais la troisième règle donne f(3) = 3.
4. Le graphe présente donc en x = 3 un saut de hauteur 1.
Le contrôle consiste à recalculer les deux valeurs de bord : 2 + 1 = 5 − 2 = 3 au premier raccord, tandis que 5 − 3 = 2 diffère de f(3) = 3 au second. La figure matérialise ce raccord puis ce saut.
En pratique
Pour lire un graphe composé de segments, on repère d'abord les abscisses où la pente change. Une formule affine globale suffit si la pente reste la même ; sinon, on écrit une règle et un intervalle pour chaque morceau.
Pour approcher numériquement une fonction difficile à exprimer globalement, on relie des valeurs connues par des segments. Cette approximation affine est préférable à une fonction en escalier lorsque l'on veut faire varier la valeur entre deux points plutôt que la maintenir constante.
Pour estimer une intégrale par la méthode des trapèzes, on remplace l'intégrande entre deux abscisses par le segment joignant ses valeurs. L'aire sous ce morceau affine devient celle d'un trapèze ; un découpage plus fin fournit davantage de morceaux.
À ne pas confondre
Fonction affine et fonction affine par morceaux. Une fonction affine globale conserve les mêmes coefficients sur tout son domaine. Dans l'exemple, les pentes 1, −1 puis 1 changent : aucune formule affine unique ne décrit les trois intervalles.
Fonction en escalier et fonction affine par morceaux. Une fonction en escalier est constante sur chaque intervalle, donc tous ses segments sont horizontaux. Elle appartient à la famille des fonctions affines par morceaux, mais l'exemple n'est pas en escalier puisque ses pentes ne sont pas nulles.
Fonction donnée par morceaux et fonction affine par morceaux. Une définition par morceaux peut employer n'importe quel type de formule. Si l'une des règles est véritablement quadratique sur un intervalle non réduit à un point, la fonction est donnée par morceaux sans être affine par morceaux.
Limites et pièges
Un changement de formule n'impose pas un saut. À x = 2 dans l'exemple, les deux expressions donnent la même valeur limite, 3. Il faut comparer les valeurs de bord avant de conclure à une discontinuité.
Une borne mal attribuée rend la définition ambiguë ou incomplète. Si deux morceaux incluent x = 3 avec des résultats différents, f(3) reçoit deux valeurs. Si aucun ne l'inclut, la fonction n'est pas définie en 3. Il faut ouvrir ou fermer les intervalles sans contradiction.
Le saut se mesure entre deux hauteurs. Dans l'exemple, la limite à gauche en 3 vaut 2 et la valeur retenue vaut 3 : la hauteur du saut est 1. L'écart horizontal entre les morceaux ne mesure pas cette discontinuité.
Un morceau peut être réduit à un point. Un intervalle dégénéré [c, c] ne contient que c et peut produire un point isolé du graphe. Il faut alors lire ce point comme une valeur définie, non comme un segment trop court pour être visible.
Pour aller plus loin
Fonction affine. Revoir le rôle de la pente et de l'ordonnée à l'origine dans chacune des règles locales.
Fonction en escalier. Étudier le cas particulier où tous les morceaux affines sont constants.
Partie entière. Observer un exemple classique en escalier, avec des bornes incluses et exclues à chaque entier.
Méthode des trapèzes. Voir comment des segments affines transforment une approximation d'intégrale en somme d'aires de trapèzes.
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