AnalyseMéthode · Glossaire
méthode des trapèzes
La méthode des trapèzes est une méthode d'intégration numérique permettant d'approcher une intégrale définie. Elle consiste à subdiviser l'intervalle d'intégration et à approcher la fonction sur chaque sous-intervalle par le segment de droite reliant les deux points d'extrémité, c'est-à-dire par une interpolation linéaire. L'intégrale signée, qui coïncide avec l'aire géométrique lorsque la fonction est non négative, est ainsi approchée par une somme d'aires algébriques de trapèzes. Plus précise que la méthode des rectangles, la méthode des trapèzes présente une erreur qui décroît comme le carré du pas de subdivision. Elle est souvent utilisée comme base pour des méthodes plus élaborées, comme la méthode de Romberg.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier la somme de trapèzes à l’interpolation linéaire.
- Appliquer la formule composée avec des notations définies.
- Refaire un calcul sur la fonction x² et contrôler son écart.
- Reconnaître les cas où la garantie d’erreur en h² ne s’applique pas.
En clair
Imaginez une courbe au-dessus d’un intervalle gradué. Pour estimer l’aire située entre cette courbe et l’axe horizontal, on choisit plusieurs points de la courbe, puis on relie deux points voisins par un segment. Chaque bande prend alors la forme d’un trapèze dont l’aire est simple à calculer.
En additionnant ces aires, on obtient une approximation de l’intégrale. Plus les bandes sont étroites, plus les segments suivent généralement la courbe de près.
Définition
La méthode des trapèzes est une formule de quadrature numérique pour approcher l’intégrale d’une fonction sur un intervalle fermé. On partage l’intervalle allant de la borne a à la borne b en n sous-intervalles de même largeur, appelée pas h. Aux points de subdivision x0, x1, …, xn, la courbe est remplacée par les segments joignant deux valeurs successives de la fonction f.
La somme composée obtenue est , avec . Les valeurs intérieures comptent deux fois parce qu’elles appartiennent à deux trapèzes voisins.
La continuité de f sur l’intervalle assure le cadre usuel de l’approximation. Si f possède une dérivée seconde continue, l’erreur globale est au plus d’ordre h2. Lorsque son terme asymptotique principal en h2 est non nul, diviser le pas par deux divise asymptotiquement l’erreur par quatre. Le signe de l’erreur dépend de la courbure de f.
Le principe
Soit une fonction f continue sur l’intervalle allant de a à b. Choisissez un entier positif n, posez le pas , puis définissez chaque point par . Évaluez f aux n + 1 points. Additionnez la moitié des deux valeurs extrêmes et toutes les valeurs intérieures, puis multipliez par h : . Le nombre Tn approche alors l’intégrale de f entre a et b.
Quand l'utiliser
La formule composée demande les bornes a et b, un nombre entier positif n et les valeurs de la fonction aux points de subdivision. Dans son cadre standard, la fonction est continue sur l’intervalle fermé. L’existence d’une dérivée seconde continue est l’hypothèse usuelle qui garantit l’estimation classique de l’erreur en h2. Le calcul fournit une valeur approchée, et non automatiquement une valeur exacte.
Si l’intégrale est impropre parce que la fonction devient infinie à une borne, la valeur requise à cette borne n’existe pas : la formule directe est bloquée. Il faut d’abord transformer l’intégrale ou employer une quadrature adaptée. Si la fonction présente un angle ou une discontinuité, l’approximation reste parfois possible, mais la garantie en h2 ne s’applique plus telle quelle ; on subdivise alors aux points singuliers.
Un exemple, pas à pas
On approche l’intégrale de la fonction f définie par f(x) = x2 entre 0 et 2. Les données sont : deux sous-intervalles, le pas h = 1, les points 0, 1 et 2, et les valeurs f(0) = 0, f(1) = 1, f(2) = 4. La figure rend visible la courbe et les deux segments qui forment les sommets des trapèzes.
1. La première aire vaut .
2. La seconde aire vaut .
3. Leur somme donne .
2. La seconde aire vaut .
3. Leur somme donne .
L’intégrale est donc approchée par 3 unités d’aire. Pour contrôler, le calcul exact donne ; l’approximation dépasse la valeur exacte de . Ce signe est cohérent avec la convexité de la parabole : ses cordes passent au-dessus de la courbe.
En pratique
À partir d’un tableau de mesures prises à intervalles réguliers, la méthode estime une quantité cumulée en additionnant des trapèzes. Elle convient lorsque seules les valeurs échantillonnées sont disponibles ; une formule intégrable exactement reste préférable lorsqu’elle est connue.
Dans un calcul numérique, on recommence avec un pas deux fois plus petit. Si les deux résultats sont proches à la précision recherchée, cette comparaison fournit un premier contrôle empirique. Une variation rapide entre deux points invite plutôt à raffiner localement le découpage.
Pour une fonction très régulière, une méthode d’ordre plus élevé peut atteindre la même précision avec moins d’évaluations. La règle des trapèzes reste utile comme calcul de départ, notamment pour construire la méthode de Romberg.
À ne pas confondre
Méthode des rectangles. Elle remplace la fonction par une valeur constante sur chaque sous-intervalle, tandis que la méthode des trapèzes relie les deux valeurs extrêmes. Pour f(x) = x2 entre 0 et 1, un rectangle à gauche a une hauteur nulle, alors que le trapèze utilise les hauteurs 0 et 1.
Interpolation linéaire. Elle construit le segment entre deux données ; la méthode des trapèzes intègre ce segment. Relier les points sans calculer d’aire relève seulement de l’interpolation.
Méthode de Romberg. Elle combine plusieurs approximations trapézoïdales obtenues avec des pas différents afin d’annuler les premiers termes d’erreur. Une seule somme de trapèzes n’est donc pas encore un calcul de Romberg.
Limites et pièges
Pas trop grand. Avec seulement deux sous-intervalles pour f(x) = x2 sur [0, 2], le résultat 3 diffère de la valeur exacte 8/3 de 1/3. Il faut raffiner le découpage et comparer les approximations successives.
Courbure et signe. Une fonction convexe place ses cordes au-dessus de sa courbe : la somme surestime alors l’intégrale. Pour une fonction concave, le sens s’inverse. Si la courbure change de signe, des erreurs locales peuvent se compenser ; un bon résultat apparent ne prouve pas un pas assez fin.
Régularité insuffisante. La garantie classique de l’ordre h2 repose sur une dérivée seconde suffisamment régulière. Une discontinuité, une pointe ou une oscillation non résolue peut produire des résultats instables quand n augmente. Il faut isoler la singularité ou adapter les sous-intervalles.
Valeurs aux bornes. La règle utilise f(a) et f(b). Si l’une de ces valeurs est infinie ou indéfinie, appliquer directement la formule produit un calcul dépourvu de sens ; une transformation ou une méthode pour intégrale impropre est nécessaire.
Pour aller plus loin
Interpolation linéaire — Pour approfondir la construction des segments dont l’intégrale forme chaque trapèze.
Méthode des rectangles — Pour comparer une approximation constante à l’approximation affine des trapèzes.
Méthode de Romberg — Pour voir comment plusieurs sommes trapézoïdales améliorent la précision par extrapolation.
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