AnalyseMéthode · Glossaire
Point milieu (méthode du)
La méthode du point milieu est une méthode d'intégration numérique qui approche l'intégrale d'une fonction sur un intervalle [a, b] par la valeur de la fonction au point milieu de l'intervalle, multipliée par la largeur de l'intervalle. Sur une subdivision en n sous-intervalles, on évalue la fonction au centre de chaque sous-intervalle. Cette méthode est d'ordre deux : sous des hypothèses de régularité adaptées, l'erreur est en O(h²), où h est le pas de la subdivision. Elle est généralement plus précise que les méthodes des rectangles à gauche ou à droite, qui sont d'ordre un.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Construire la somme composée à partir du pas et des centres.
- Refaire l'exemple de x² sur [0, 2] et contrôler l'écart à l'intégrale exacte.
- Relier l'ordre deux à la régularité de la fonction.
- Distinguer le point milieu des rectangles d'extrémité et des trapèzes.
En clair
Imaginez une courbe au-dessus d'un intervalle et l'aire à estimer sous cette courbe. On découpe l'intervalle en bandes. Dans chaque bande, on regarde la hauteur de la courbe exactement au centre, puis on construit un rectangle de cette hauteur. La somme des aires de ces rectangles donne une approximation de l'aire cherchée.
Quand les bandes deviennent deux fois moins larges, l'erreur est en général divisée par environ quatre pour une fonction suffisamment régulière. C'est le sens de l'ordre deux.
Définition
La méthode du point milieu est une formule de quadrature, c'est-à-dire une procédure qui remplace une intégrale par une somme pondérée de valeurs de la fonction. Sur l'intervalle allant de la borne a à la borne b, on choisit un nombre n de sous-intervalles de même largeur. Cette largeur, appelée pas h, vaut .
Pour le sous-intervalle numéro k, son centre est noté mk. On évalue la fonction f en chacun de ces centres, puis on multiplie la somme par le pas : . La quantité Mn approche l'intégrale de f entre a et b. La règle simple utilise un seul sous-intervalle ; la règle composée applique le même geste à toute la subdivision.
Si la dérivée seconde de f existe et reste bornée sur l'intervalle, l'erreur globale est d'ordre deux : elle décroît comme h2. Cette propriété distingue le point milieu des rectangles fondés sur une extrémité, dont l'erreur est généralement d'ordre un.
Le principe
Soit une fonction f intégrable sur l'intervalle [a, b] et définie au centre de chaque sous-intervalle choisi. Fixez un entier n strictement positif, puis partagez l'intervalle en n parties égales de pas h. Pour chaque partie, repérez son centre mk, calculez f(mk), additionnez les valeurs et multipliez par h.
L'approximation obtenue est . On s'arrête lorsque le pas fixé est atteint ou qu'une comparaison entre deux subdivisions satisfait la précision recherchée.
Quand l'utiliser
La méthode s'applique quand la fonction peut être évaluée au centre de chaque sous-intervalle et que l'intégrale visée existe. Une subdivision uniforme demande une borne gauche a, une borne droite b et un nombre n entier strictement positif. Pour garantir l'ordre deux, la fonction doit avoir une dérivée seconde bornée sur tout l'intervalle.
Si la fonction n'est pas définie au centre d'une bande, le calcul se bloque même si une intégrale impropre existe. Par exemple, une bande centrée en 0 ne convient pas à la fonction 1/√|x| sur l'intervalle [-1, 1]. Il faut alors découper autrement, traiter l'intégrale impropre séparément ou employer une méthode adaptée à la singularité.
Un exemple, pas à pas
On veut approcher l'intégrale de la fonction f définie par f(x) = x2 entre 0 et 2. Les données sont les bornes 0 et 2, le nombre de sous-intervalles n = 2 et le pas h = 1. Les deux centres sont 0,5 et 1,5.
1. Aux centres, les hauteurs valent f(0,5) = 0,25 et f(1,5) = 2,25.
2. La somme des hauteurs vaut 0,25 + 2,25 = 2,5.
3. Chaque bande ayant une largeur de 1, l'aire totale approchée vaut 1 × 2,5 = 2,5.
2. La somme des hauteurs vaut 0,25 + 2,25 = 2,5.
3. Chaque bande ayant une largeur de 1, l'aire totale approchée vaut 1 × 2,5 = 2,5.
Le résultat est donc M2 = 2,5 unités d'aire. Le calcul exact donne , soit environ 2,667. L'approximation est inférieure à la valeur exacte de 1/6, soit environ 0,167. Les deux rectangles de contrôle ont une largeur de 1 et des hauteurs de 0,25 et 2,25.
En pratique
Pour estimer une aire à partir de valeurs calculables, on découpe l'intervalle et on évalue la fonction au centre de chaque bande. Le point milieu est un bon premier choix lorsque la courbe est régulière et que peu d'évaluations sont disponibles.
Dans un programme, on double progressivement le nombre de bandes et on compare les résultats. Si le coût d'une évaluation est élevé, cette comparaison aide à arrêter le calcul dès que la variation devient compatible avec la précision demandée.
Si seules les valeurs aux extrémités sont connues, la méthode des trapèzes est directement utilisable. Si la fonction présente une pointe, une discontinuité ou une singularité, une subdivision adaptée ou une méthode spécialisée est préférable.
À ne pas confondre
La méthode du point milieu ne doit pas être confondue avec la méthode des rectangles à gauche ou à droite. Toutes utilisent des rectangles, mais le point d'évaluation les sépare : ici, c'est le centre. Sur f(x) = x2 entre 0 et 2 avec deux bandes, le point milieu donne 2,5, contre 1 pour les extrémités gauches et 5 pour les extrémités droites.
Elle diffère aussi de la méthode des trapèzes, qui utilise les deux extrémités de chaque bande et relie leurs hauteurs par un segment. Sur le même exemple, les trapèzes donnent 3, tandis que le point milieu donne 2,5.
Limites et pièges
L'ordre deux n'est pas automatique pour toute fonction intégrable. Une discontinuité, une pointe ou une dérivée seconde non bornée peut dégrader la vitesse de convergence. Le symptôme est une erreur qui ne se divise pas approximativement par quatre quand le pas est divisé par deux ; il faut alors raffiner près de l'irrégularité ou changer de méthode.
Un résultat stable entre deux subdivisions n'est pas une preuve d'exactitude. Deux erreurs peuvent être proches par hasard. Il faut fixer une tolérance, comparer plusieurs raffinements et, si possible, utiliser une borne d'erreur ou une méthode d'ordre différent.
Le signe de l'erreur dépend de la courbure. Pour une fonction convexe comme x2, les rectangles centrés restent sous la courbe en moyenne et sous-estiment l'intégrale ; pour une fonction concave, le sens s'inverse. Sans courbure de signe constant, aucune conclusion globale de ce type n'est garantie.
Pour aller plus loin
La méthode des rectangles replace le point milieu parmi les choix possibles de hauteur et montre pourquoi le point d'évaluation change la précision.
La méthode des trapèzes fournit une autre approximation d'ordre deux, fondée sur les valeurs aux extrémités plutôt qu'au centre.
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