méthode de quadrature

Imaginez l'aire située sous la courbe y = x² entre 0 et 2. Pour l'estimer sans calculer l'intégrale exactement, on peut mesurer la hauteur de la courbe au milieu, en x = 1, puis multiplier cette hauteur par la largeur 2.

Le point choisi est un nœud et la largeur joue le rôle de poids. Une méthode de quadrature généralise ce geste : elle remplace une aire continue par une somme de quelques valeurs bien choisies de la fonction.

Soit une fonction f définie sur un intervalle fermé [a, b]. Une formule de quadrature approche son intégrale définie par une somme de valeurs de f. Les points x₀, …, x_n, choisis dans [a, b], sont les nœuds ; les nombres A₀, …, A_n sont les poids.

La relation générale s'écrit : ${\int }_a^{b}f(x)dx\approx {\sum }_{i=0}^n{A}_{i}f(x_i)\backslash int\_a^b\; f(x)\backslash ,dx\backslash ;\backslash approx\backslash ;\backslash sum\_\{i=0\}^\{n\}\; A\_i\; f(x\_i)$. Lorsque la formule est construite en intégrant le polynôme qui interpole f aux nœuds distincts, le poids associé au nœud x_i est l'intégrale du polynôme de base de Lagrange correspondant :

Les règles du point milieu, les formules de Newton-Cotes et les quadratures de Gauss appartiennent à cette famille. Elles se distinguent par le choix des nœuds et, par conséquent, par les poids et la précision obtenue.

Pour construire une formule interpolatoire, choisissez n + 1 nœuds distincts x₀, …, x_n dans [a, b]. Calculez chaque poids en intégrant sur [a, b] le polynôme de Lagrange qui vaut 1 au nœud concerné et 0 aux autres.

Évaluez ensuite f aux nœuds, multipliez chaque valeur par son poids et additionnez. Le calcul s'arrête lorsque la somme ${\sum }_{i=0}^n{A}_{i}f(x_i)\backslash sum\_\{i=0\}^\{n\}A\_i\; f(x\_i)$ est formée ; elle fournit l'approximation de l'intégrale.

La fonction doit être définie aux nœuds choisis et son intégrale sur [a, b] doit avoir un sens. Pour la construction par interpolation, les nœuds doivent être deux à deux distincts : sinon un dénominateur x_i − x_j s'annule et les poids donnés par la formule ne sont pas définis.

Une règle peu dense peut mal représenter une fonction qui varie fortement entre les nœuds. Dans ce contre-cas, des valeurs ponctuelles donnent une image trop pauvre de la courbe : il faut subdiviser [a, b], ajouter des nœuds ou choisir une formule mieux adaptée. Le résultat obtenu reste une approximation tant qu'aucune propriété d'exactitude n'a été établie pour la fonction considérée.

Approchons l'intégrale de la fonction f définie par f(x) = x² sur [0, 2] avec la règle du point milieu. Les données sont les bornes 0 et 2, la largeur 2, le nœud central x₀ = 1 et le poids A₀ = 2.

1. Évaluons la fonction au nœud : f(1) = 1² = 1.

2. Multiplions cette valeur par le poids : $A_{0}f(x_0)=2\times 1=2A\_0f(x\_0)=2\backslash times1=2$. La quadrature donne donc 2. La figure compare ce rectangle à l'aire délimitée par la courbe.

3. Calculons la valeur exacte pour contrôler : ${\int }_0^2{x}^{2}dx={\left[\frac{x^3}{3}\right]}_0^2=\frac{8}{3}\approx \mathrm{2,667}\backslash int\_0^2x^2\backslash ,dx=\backslash left[\backslash frac\{x^3\}\{3\}\backslash right]\_0^2=\backslash frac83\backslash approx2\{,\}667$. L'approximation 2 sous-estime donc l'intégrale de 2/3.

4. Raffinons le calcul en partageant [0, 2] en deux intervalles de largeur 1. Les milieux 0,5 et 1,5 donnent 0,5² + 1,5² = 0,25 + 2,25 = 2,5. L'écart à 8/3 devient 1/6 : ce second calcul constitue un contrôle refaisable du gain obtenu par subdivision.

Quand une primitive est disponible et simple à évaluer, le calcul exact reste préférable. La quadrature devient utile lorsque la primitive est inconnue, trop difficile à manier ou inutile pour obtenir seulement une valeur numérique.

Avec des valeurs issues de mesures, on additionne des hauteurs observées avec des poids correspondant au découpage. On préfère alors une règle compatible avec les points réellement disponibles, plutôt qu'une formule exigeant des évaluations absentes.

Dans un calcul automatisé, on compare souvent deux découpages successifs. Si leurs résultats diffèrent encore trop pour la précision recherchée, on raffine les intervalles. S'ils sont suffisamment proches, cette proximité est un indicateur sous des hypothèses de convergence ou avec une estimation d'erreur, mais pas une garantie générale de précision.

Quadrature numérique et calcul exact d'une intégrale. Une quadrature produit généralement une approximation à partir d'un nombre fini de valeurs. L'évaluation d'une primitive entre 0 et 2 donne ici exactement 8/3 et relève du calcul exact ; la règle du point milieu donne 2, ce qui tranche immédiatement.

Quadrature et interpolation. L'interpolation construit un polynôme qui retrouve les valeurs de f aux nœuds. La quadrature intègre ce polynôme pour approcher l'intégrale de f. Si l'on demande une courbe passant par les points, on interpole ; si l'on demande une aire approchée, on applique une quadrature.

Nœuds confondus. Si x_i = x_j avec i ≠ j, le quotient qui définit la base de Lagrange comporte une division par zéro. Il faut supprimer le doublon ou employer une construction conçue pour d'autres données.

Accord aux nœuds, désaccord entre eux. Deux fonctions peuvent prendre les mêmes valeurs à tous les nœuds et avoir des intégrales différentes. La somme pondérée ne détecte pas ce qui se passe entre ces points ; il faut raffiner le maillage ou disposer d'informations supplémentaires sur la fonction.

Amélioration sans exactitude. Dans l'exemple, passer d'un intervalle à deux fait évoluer l'estimation de 2 à 2,5, plus proche de 8/3. Ce progrès ne transforme pas 2,5 en valeur exacte : l'écart vaut encore 1/6. Il faut annoncer la précision ou un contrôle d'erreur, pas seulement davantage de nœuds.

La méthode de Simpson combine des valeurs aux extrémités et au milieu afin d'intégrer une approximation polynomiale plus riche sur chaque intervalle.