AnalyseMéthode · Glossaire
Weddle-Hardy (méthode de)
La méthode de Weddle-Hardy estime une intégrale à partir de sept valeurs de la fonction, prises en des points régulièrement espacés de l'intervalle. Elle remplace localement la courbe par un polynôme de degré 6, puis combine ces valeurs avec des coefficients précis. Les conditions de précision, la comparaison avec Simpson et le rôle de la dérivée huitième sont détaillés plus loin.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les sept nœuds et leurs poids.
- Appliquer la formule à x⁶ sur [0,1].
- Comprendre l'exactitude jusqu'au degré 7.
- Repérer les limites de régularité et de maillage.
En clair
Pour estimer l'aire sous une courbe, on peut remplacer localement la courbe par un polynôme que l'on sait intégrer exactement. La méthode de Weddle-Hardy observe la fonction en sept points régulièrement espacés, comme sept repères le long de l'intervalle, puis combine les sept valeurs avec des poids précis.
Les points ne contribuent pas tous de la même manière : les deux extrémités ont le poids 41, les points voisins des extrémités le poids 216, les suivants le poids 27 et le point central le poids 272. Cette pondération reproduit exactement les polynômes jusqu'au degré 7, ce qui explique sa bonne précision pour une fonction suffisamment régulière.
Définition
Soit f une fonction définie sur [a,b]. On partage cet intervalle en six sous-intervalles égaux et l'on note h=(b−a)/6, puis xᵢ=a+ih pour i allant de 0 à 6. La méthode de Weddle-Hardy intègre le polynôme d'interpolation de degré au plus 6 qui prend les valeurs f(xᵢ) aux sept nœuds x₀,…,x₆.
La formule élémentaire est une combinaison linéaire des valeurs de f aux nœuds. Écrite avec la longueur totale b−a, elle met en évidence les coefficients 41, 216, 27, 272, 27, 216 et 41. Pour une fonction assez régulière, le reste fait intervenir une dérivée huitième et décroît comme (b−a)⁹ lorsque l'intervalle est fixé par cette formule.
Le principe
Avec fᵢ=f(xᵢ), l'approximation de l'intégrale de f entre a et b est donnée par
.
Les sept abscisses sont équidistantes, et f₃ est la valeur au milieu de l'intervalle. La formule est exacte lorsque f est un polynôme de degré au plus 7 ; pour une fonction générale, elle devient une approximation dont l'erreur dépend notamment de f⁽⁸⁾.
Quand l'utiliser
Les sept points doivent être régulièrement espacés et couvrir tout l'intervalle, extrémités comprises. Il faut donc six sous-intervalles de même longueur dans une application élémentaire. Pour traiter un intervalle qui ne se prête pas à ce découpage, on peut subdiviser celui-ci en paquets de six sous-intervalles et appliquer la règle sur chaque paquet.
La précision annoncée suppose une fonction suffisamment régulière, notamment une dérivée huitième contrôlée sur l'intervalle. Si la fonction présente une discontinuité, une pointe ou une variation très localisée, les sept échantillons peuvent mal représenter la courbe.
Un exemple, pas à pas
Estimons I=∫₀¹x⁶ dx. La fonction est f(x)=x⁶, l'intervalle est [0,1] et le pas vaut h=(1−0)/6=1/6. Les sept nœuds sont donc xᵢ=i/6, de x₀=0 à x₆=1.
Les valeurs nécessaires sont f₀=0, f₁=(1/6)⁶, f₂=(2/6)⁶, f₃=(3/6)⁶, f₄=(4/6)⁶, f₅=(5/6)⁶ et f₆=1. La figure associée montre ces sept points équidistants et la courbe x⁶ sur le même intervalle.
1. On remplace b−a par 1 dans la formule de Weddle-Hardy.
2. On insère les sept valeurs : .
3. La somme pondérée se simplifie ainsi : , donc .
2. On insère les sept valeurs : .
3. La somme pondérée se simplifie ainsi : , donc .
Ici, le résultat est exact, car x⁶ est un polynôme de degré 6, donc dans la classe de polynômes que la méthode intègre exactement. La valeur de contrôle est bien ∫₀¹x⁶ dx=[x⁷/7]₀¹=1/7.
En pratique
En pratique, on commence par choisir six sous-intervalles de même largeur, puis on évalue la fonction aux sept nœuds. On applique ensuite les sept coefficients, on additionne et on multiplie par (b−a)/840.
Pour une fonction régulière, une subdivision plus fine peut améliorer l'approximation : on applique la règle sur plusieurs groupes de six sous-intervalles et on additionne les résultats. La comparaison avec une autre méthode ou avec un calcul de référence aide à surveiller l'erreur numérique.
À ne pas confondre
La méthode de Weddle-Hardy ne remplace pas une intégrale par une somme de sept valeurs de même poids. Elle utilise une interpolation polynomiale et une pondération très inégale, avec un coefficient central particulièrement grand.
Elle ne doit pas non plus être confondue avec la règle de Simpson. Simpson utilise trois points pour une parabole et est exacte jusqu'au degré 3, tandis que Weddle-Hardy utilise sept points et une interpolation de degré 6 ; les deux méthodes ne partagent donc ni les mêmes coefficients ni les mêmes conditions de découpage.
Limites et pièges
Le fait d'utiliser sept points ne garantit pas une bonne estimation pour toute fonction. Une singularité ou une dérivée huitième très grande peut rendre le reste important, même si les valeurs échantillonnées semblent régulières. La règle devient également sensible aux erreurs d'évaluation et d'arrondi lorsque les valeurs sont de tailles très différentes.
La formule élémentaire exige six sous-intervalles égaux ; un nombre de subdivisions qui n'est pas multiple de six ne peut pas être traité par une simple répétition sans adapter le maillage. Enfin, l'exactitude pour les polynômes de degré au plus 7 ne signifie pas que l'erreur est nulle pour une fonction non polynomiale.
Pour aller plus loin
Weddle-Hardy est une formule fermée de Newton-Cotes : les nœuds sont régulièrement espacés et les deux extrémités appartiennent au stencil. Son ordre de précision est 7, car la symétrie ajoute l'exactitude pour le terme impair de degré 7, alors que la construction part d'une interpolation de degré 6.
Pour une fonction huit fois dérivable, une écriture usuelle du terme d'erreur est E=−(b−a)⁹ f⁽⁸⁾(ξ)/1 567 641 600 pour un certain ξ de l'intervalle, dans la convention de la formule donnée. Cette expression rappelle à la fois l'intérêt d'un intervalle court et la nécessité de contrôler la dérivée huitième ; elle ne dispense pas d'une estimation numérique de l'erreur.
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