formule de Newton-Cotes

Imaginez une courbe dont on ne connaît que quelques hauteurs, relevées à intervalles réguliers. Pour estimer l'aire entre cette courbe et l'axe horizontal, on fait passer un polynôme par les points connus. On calcule ensuite exactement l'aire sous ce polynôme.

Une formule de Newton-Cotes transforme ainsi les hauteurs mesurées en une somme pondérée. Les poids sont fixés par le nombre et la disposition régulière des points, pas par la fonction étudiée.

Une formule de Newton-Cotes est une formule de quadrature : elle approche l'intégrale d'une fonction à partir de valeurs prises en des nœuds équidistants. Soient A et B les bornes, m le nombre de sous-intervalles, h = (B − A)/m leur largeur et x_i = A + ih le iᵉ nœud. On interpole les m + 1 valeurs f(x_i) par un polynôme de degré au plus m, puis on intègre exactement ce polynôme. Les nombres c_i obtenus sont des poids qui ne dépendent que de m.

La formule est fermée lorsque A et B font partie des nœuds, et ouverte lorsqu'ils en sont exclus. Avec la convention qui compte les nœuds, deux nœuds donnent la règle du trapèze, trois donnent la règle de Simpson et quatre donnent la règle des trois huitièmes. Avec m défini comme le nombre de sous-intervalles, la règle du trapèze, la règle de Simpson et la règle des trois huitièmes correspondent respectivement à m = 1, m = 2 et m = 3. L'erreur dépend de la régularité de la fonction et s'exprime, sous des hypothèses adaptées, au moyen de ses dérivées.

Si les valeurs d'une fonction sont disponibles en m + 1 points équidistants x_i = A + ih, on construit le polynôme interpolateur P qui prend les mêmes valeurs en ces points. L'intégrale de P fournit alors l'approximation de Newton-Cotes.

Les poids c_i sont les intégrales des polynômes de base de Lagrange, après changement d'échelle par h. La formule est donc exacte chaque fois que f est elle-même un polynôme du degré couvert par la règle choisie.

La méthode demande des valeurs de la fonction sur un intervalle borné et des nœuds régulièrement espacés. Il faut connaître le pas h et choisir une règle dont le nombre de nœuds correspond aux données. Une estimation théorique de l'erreur exige en outre que les dérivées intervenant dans cette estimation existent et restent contrôlées sur l'intervalle.

Si les points ne sont pas équidistants, les poids usuels de Newton-Cotes ne conviennent plus : il faut intégrer l'interpolant construit sur les nœuds réels ou choisir une autre quadrature. Si la fonction présente une discontinuité dans l'intervalle, une formule appliquée d'un seul bloc peut masquer la rupture ; on découpe alors l'intervalle à cet endroit avant de calculer.

Données. On veut approcher l'intégrale de la fonction f définie par f(x) = x² entre 0 et 2. Trois nœuds équidistants sont disponibles : 0, 1 et 2. Le pas vaut h = 1, et les valeurs sont f(0) = 0, f(1) = 1 et f(2) = 4.

1. Avec trois nœuds, on choisit la règle de Simpson. Ses poids relatifs sont 1, 4 et 1.

2. On remplace chaque valeur dans la formule :

3. Le résultat est 8/3, soit environ 2,667 unités d'aire. Ici, l'approximation est exacte, car la règle de Simpson intègre exactement ce polynôme du second degré.

Contrôle. Une primitive de x² est x³/3. La différence entre ses valeurs en 2 et en 0 vaut bien 8/3. Sur les mêmes nœuds, la règle composée des trapèzes donnerait 3 : la figure met en regard la parabole et les deux segments responsables de cet excès de 1/3.

Lorsque des mesures sont relevées à intervalles réguliers, une règle de Newton-Cotes estime leur cumul : distance à partir de vitesses, énergie à partir d'une puissance ou aire sous une courbe. La règle des trapèzes est souvent retenue quand on ne dispose que de deux valeurs par portion.

Avec un nombre impair de valeurs régulièrement espacées et une courbe assez lisse, la règle de Simpson exploite les points par groupes de trois. Elle est préférable aux trapèzes lorsqu'une courbure visible doit être prise en compte sans augmenter le nombre de mesures.

Sur un long intervalle, on emploie généralement une version composée : la même petite règle est répétée sur plusieurs panneaux. Si les données sont irrégulièrement espacées ou si l'on peut choisir librement les nœuds, une autre méthode de quadrature peut être plus adaptée.

Newton-Cotes et interpolation polynomiale. L'interpolation construit une fonction approchée qui passe par les données ; Newton-Cotes intègre cet interpolant pour produire un nombre. Si le résultat attendu est une courbe plutôt qu'une aire, le problème est d'abord un problème d'interpolation.

Newton-Cotes et quadrature de Gauss. Newton-Cotes impose des nœuds équidistants, tandis qu'une quadrature de Gauss choisit des nœuds particuliers pour obtenir une exactitude polynomiale plus élevée à nombre de valeurs égal. Des mesures déjà prises à intervalles réguliers orientent donc vers Newton-Cotes ; des points encore libres peuvent orienter vers Gauss.

Formule simple et formule composée. Une formule simple interpole sur tout l'intervalle en une seule fois. Une formule composée répète une règle de bas degré sur plusieurs sous-intervalles. Dix panneaux de trapèzes ne constituent donc pas une unique formule de Newton-Cotes de degré dix.

Degré élevé sur un seul panneau. Ajouter toujours plus de nœuds équidistants n'assure pas une meilleure approximation. L'interpolant peut osciller fortement près des extrémités, et la formule fermée à huit sous-intervalles possède déjà des poids négatifs. Le symptôme est une estimation instable quand on ajoute des points ; une règle composée de bas degré est alors préférable.

Régularité insuffisante. Une borne d'erreur fondée sur une dérivée n'est utilisable que si cette dérivée existe et reste bornée sur l'intervalle. Un angle, une singularité ou une discontinuité invalide la justification correspondante. Il faut découper l'intervalle aux points problématiques ou employer une méthode adaptée.

Convention de comptage. Le symbole n peut compter les nœuds ou les sous-intervalles selon les textes. Le cas charnière le révèle : le trapèze utilise deux nœuds mais un sous-intervalle, Simpson trois nœuds mais deux sous-intervalles. Avant d'appliquer des poids, il faut vérifier ce que l'indice désigne.

Exactitude et proximité visuelle. Une courbe lisse entre les nœuds ne garantit pas une petite erreur. Deux fonctions peuvent prendre les mêmes valeurs échantillonnées et avoir des intégrales différentes entre ces points. On contrôle donc la convergence en réduisant le pas et, quand les hypothèses le permettent, avec une estimation par les dérivées.

La méthode des trapèzes détaille le cas fermé à deux nœuds et son emploi sous forme composée.

L'interpolation polynomiale de Lagrange montre comment construire le polynôme dont l'intégration produit les poids de Newton-Cotes.