Histoire et cultureNotion · Glossaire
interpolation polynomiale de Lagrange
L'interpolation polynomiale de Lagrange est une méthode qui permet de construire un polynôme passant exactement par un ensemble de points donnés d'une fonction quelconque. Soient n points d'abscisses distinctes x₁, x₂, …, xₙ où la fonction f prend respectivement les valeurs y₁, y₂, …, yₙ. Le polynôme de Lagrange associé est : P(x) = ∑ⱼ₌₁ⁿ pⱼ(x), où chaque polynôme de base pⱼ est défini par : pⱼ(x) = yⱼ · ∏ₖ₌₁,ₖ≠ⱼⁿ (x − xₖ) / (xⱼ − xₖ). Ce polynôme est l'unique polynôme de degré au plus n−1 vérifiant les conditions d'interpolation imposées. La formule a une histoire riche : découverte par Waring en 1779, redécouverte indépendamment par Euler en 1783, puis publiée sous sa forme classique par Lagrange en 1795. Bien que puissante, cette méthode peut produire des oscillations indésirables pour des degrés élevés (phénomène de Runge), ce qui a motivé le développement d'approches alternatives telles que l'interpolation de Hermite ou les splines.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Construire les polynômes cardinaux associés à des abscisses distinctes.
- Calculer pas à pas le polynôme passant par (0 ; 1), (1 ; 3) et (2 ; 2).
- Vérifier les trois conditions d’interpolation et calculer la valeur P(3/2).
- Distinguer interpolation, régression, interpolation de Hermite et spline.
- Repérer les abscisses répétées, l’extrapolation hasardeuse et le phénomène de Runge.
En clair
Placez trois points sur un graphique : (0 ; 1), (1 ; 3) et (2 ; 2). L’interpolation de Lagrange construit une courbe polynomiale qui traverse exactement ces trois repères.
Pour y parvenir, la méthode fabrique trois polynômes : chacun vaut 1 à l’une des abscisses et 0 aux deux autres. On les multiplie par les hauteurs 1, 3 et 2, puis on les additionne. La courbe obtenue respecte donc automatiquement chaque point imposé, tout en proposant des valeurs entre eux.
Définition
L’interpolation polynomiale de Lagrange construit un polynôme P à partir de n couples (xj ; yj). L’abscisse xj désigne le j-ième point et yj sa valeur imposée. Les abscisses doivent être deux à deux distinctes ; sinon un dénominateur s’annule. Pour chaque indice j, le polynôme cardinal Lj est choisi pour valoir 1 en xj et 0 en toutes les autres abscisses. Avec l’indice k qui parcourt tous les points sauf le j-ième, ces polynômes et leur somme s’écrivent :
Ainsi, P(xj) = yj pour chaque j. Il existe un unique polynôme de degré au plus n − 1 qui remplit ces n conditions. La formule convient à des valeurs tabulées d’une fonction quelconque : elle reconstruit exactement les données, sans garantir que la courbe entre les points reproduit la fonction d’origine. Pour un grand nombre de points, des oscillations peuvent apparaître, comme dans le phénomène de Runge.
Un exemple, pas à pas
Données. On cherche le polynôme P de degré au plus 2 qui passe par les trois points sans unité (0 ; 1), (1 ; 3) et (2 ; 2).
1. Pour les abscisses 0, 1 et 2, les trois polynômes cardinaux sont , et .
2. On pondère ces trois polynômes par les valeurs 1, 3 et 2 : .
3. En développant puis en réduisant, on obtient . À l’abscisse 3/2, la valeur interpolée est P(3/2) = 23/8, soit 2,875.
Contrôle. Les substitutions donnent P(0) = 1, P(1) = 3 et P(2) = 2. La courbe représentée traverse bien les trois points annoncés ; ces trois égalités vérifient toutes les conditions d’interpolation.
En pratique
Pour estimer une valeur entre quelques données tabulées, on calcule P au point recherché. Avec les trois valeurs de l’exemple, P(3/2) = 2,875. Si les mesures sont bruitées et ne doivent pas être traversées exactement, une régression est préférable.
Pour obtenir une expression symbolique à partir d’un petit nombre de valeurs exactes, la forme de Lagrange évite de résoudre directement un système d’équations. Si de nouveaux points sont ajoutés fréquemment, une forme de Newton ou une méthode adaptée aux mises à jour limite les recalculs.
Pour tracer une courbe à travers de nombreux points, on surveille les oscillations entre les données. Dès que la courbe dépasse fortement les valeurs voisines, des interpolations locales par morceaux, notamment les splines, sont souvent mieux adaptées qu’un unique polynôme de degré élevé.
À ne pas confondre
Avec une régression polynomiale. L’interpolation impose P(xj) = yj à chaque donnée ; la régression minimise un écart global et peut ne passer par aucun point. Trois valeurs exactes comme (0 ; 1), (1 ; 3), (2 ; 2) appellent l’interpolation ; des mesures dispersées autour d’une tendance appellent plutôt la régression.
Avec l’interpolation de Hermite. Lagrange impose seulement des valeurs aux abscisses distinctes. Hermite peut aussi imposer des dérivées, donc des pentes. Si l’on connaît uniquement les trois points de l’exemple, Lagrange suffit ; si la pente au point (1 ; 3) doit également être respectée, le problème relève de Hermite.
Avec une spline. Lagrange fournit ici un seul polynôme sur tout l’intervalle. Une spline assemble plusieurs polynômes sur des sous-intervalles en contrôlant leur raccordement. Pour trois points et une expression globale, Lagrange convient ; pour une longue table où l’on veut agir localement, une spline peut être préférable.
Limites et pièges
Abscisses répétées. Si deux abscisses xj et xk sont égales, le facteur xj − xk vaut 0 et la formule de Lagrange n’est pas définie. Il faut fusionner les doublons cohérents ou, si des dérivées sont imposées, reformuler le problème avec Hermite.
Données incompatibles. Deux points de même abscisse mais de valeurs différentes, par exemple (1 ; 3) et (1 ; 4), ne peuvent appartenir au graphe d’une même fonction. Aucun polynôme interpolateur ne résout ce cas ; il faut corriger les données ou choisir un modèle d’ajustement.
Exact aux nœuds, incertain entre eux. Le passage par les données ne prouve pas que P reproduit la fonction d’origine entre deux abscisses, ni au-delà de leur intervalle. Dans l’exemple, 2,875 est une valeur interpolée, pas une mesure supplémentaire. Il faut contrôler l’erreur avec des informations sur la fonction.
Degré élevé et phénomène de Runge. Avec n points, le degré peut atteindre n − 1 ; augmenter n sur des abscisses régulièrement espacées peut accentuer les oscillations près des bords. Le symptôme est un dépassement marqué entre des valeurs pourtant sages. On peut changer les nœuds ou employer une interpolation locale, telle qu’une spline.
Pour aller plus loin
Phénomène de Runge — Montre pourquoi certains polynômes interpolateurs de degré élevé oscillent près des bords.
spline cubique — Présente une interpolation par morceaux qui limite l’influence globale de chaque point.
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