spline cubique

Imaginez trois points dessinés sur une feuille et une règle souple que l'on courbe pour les relier. Une spline cubique reproduit ce geste avec plusieurs petits polynômes, un entre chaque paire de points. Aux jonctions, les morceaux partagent la même position, la même pente et la même courbure. La ligne traverse ainsi les points sans angle ni rupture visible.

Une spline cubique est une fonction polynomiale par morceaux. Les abscisses strictement croissantes x₀ < x₁ < … < x_n sont appelées nœuds. Sur chaque intervalle compris entre deux nœuds consécutifs, la fonction coïncide avec un polynôme P_i de degré au plus 3. Le mot « cubique » autorise donc un morceau de degré inférieur lorsque les données l'imposent.

Pour chaque nœud intérieur, les deux morceaux voisins ont la même valeur, la même dérivée première et la même dérivée seconde. Si S désigne la spline, cette condition signifie que S est de classe C² sur tout l'intervalle. Elle garantit un tracé sans saut de position, sans angle et sans saut de courbure.

Dans une interpolation, la valeur de S au nœud x_i doit être la donnée y_i : $S(x_i)=y_{i}S(x\_i)=y\_i$. Ces contraintes ne déterminent pas toujours une spline unique. Il faut aussi choisir deux conditions aux extrémités. La variante naturelle impose une dérivée seconde nulle aux deux extrémités ; la variante à pentes fixées impose les dérivées premières. Le choix dépend de l'information disponible et peut modifier la courbe près des bords.

Construisons la spline cubique naturelle qui relie trois points. Le dessin associé rend visibles les deux morceaux et leur raccord au point central.

Données
Les nœuds sont x₀ = 0, x₁ = 1 et x₂ = 2.
Les valeurs sont y₀ = 0, y₁ = 1 et y₂ = 0.
La dérivée seconde vaut 0 aux deux extrémités.

1. En résolvant les contraintes d'interpolation et de raccordement, on obtient les deux morceaux suivants :

2. Le premier morceau donne S(0) = 0 et S(1) = 1. Le second donne S(1) = 1 et S(2) = 0. La courbe passe donc par les trois points annoncés.

3. Au nœud central, les deux valeurs valent 1, les deux dérivées premières valent 0 et les deux dérivées secondes valent −3. Le raccord est donc de classe C².

4. Aux extrémités, on vérifie S″(0) = 0 et S″(2) = 0. La condition naturelle est satisfaite. Le résultat est une courbe lisse, symétrique autour de x = 1, dont le maximum vaut exactement 1.

En conception assistée par ordinateur, une spline cubique relie des points de profil pour dessiner un contour lisse. On la préfère à un unique polynôme de degré élevé lorsque l'on veut retoucher localement une portion sans imposer une formule globale à toute la courbe.

Pour interpoler des mesures prises à des instants successifs, elle fournit des valeurs entre les observations. Si les mesures sont très bruitées, une spline de lissage est plus adaptée : elle n'oblige pas la courbe à traverser exactement chaque point.

Dans un logiciel, le choix des conditions aux extrémités mérite une vérification visuelle. Des pentes connues justifient une spline à pentes fixées ; sans information de bord, la condition naturelle offre une convention simple, mais elle ne constitue pas une vérité sur le phénomène modélisé.

Polynôme cubique unique. Un polynôme cubique possède une seule formule sur tout l'intervalle. Une spline cubique peut changer de formule à chaque nœud ; quatre points peuvent donc être reliés par trois morceaux raccordés.

Spline de lissage. Une spline d'interpolation passe exactement par toutes les données. Une spline de lissage accepte des écarts pour atténuer le bruit ; si un point mesuré n'est pas traversé, il ne s'agit plus d'une interpolation exacte.

B-spline. Une B-spline est une représentation à l'aide de fonctions de base et de points de contrôle. Les points de contrôle ne sont généralement pas des points traversés. Dans une B-spline interpolante, les valeurs exactes sont imposées par des contraintes d'interpolation qui déterminent les coefficients, et non par les nœuds seuls.

Nœuds répétés ou mal ordonnés. La construction présentée suppose des abscisses strictement croissantes. Deux valeurs différentes imposées à la même abscisse rendent l'interpolation par une fonction impossible ; il faut alors corriger ou agréger les données.

Trois nœuds ne suffisent pas sans conditions de bord. Dans l'exemple, les deux conditions naturelles sélectionnent une solution unique. En les remplaçant par d'autres conditions admissibles, on obtient une autre spline qui traverse pourtant les mêmes trois points.

Lisse ne signifie pas fidèle entre les points. Une spline interpolante peut dépasser les valeurs voisines ou créer un extremum non observé. Si la grandeur doit rester positive ou monotone, il faut contrôler ces propriétés sur chaque intervalle et choisir une interpolation qui les préserve si nécessaire.

Extrapolation fragile. Hors du premier et du dernier nœud, la spline n'est plus définie par le problème d'interpolation posé. Prolonger le morceau extrême revient à ajouter une hypothèse ; les conclusions doivent rester limitées à l'intervalle couvert par les données.

L'article Approcher une fonction et épouser sa courbe replace l'interpolation parmi les méthodes qui construisent une fonction approchant des données ou une courbe.