fonction spline

Imaginez trois points à relier par une courbe souple. Une droite brisée passe bien par eux, mais forme un angle au point central. Un seul polynôme pourrait aussi les relier, au risque de réagir fortement lorsqu'on ajoute beaucoup de points.

Une fonction spline adopte une autre stratégie : elle place un petit polynôme entre deux points voisins, puis raccorde les morceaux aux nœuds. Pour une spline cubique usuelle, la hauteur, la pente et la courbure coïncident à chaque raccord. La courbe traverse alors les données sans cassure visible.

Sur un intervalle découpé par des nombres ordonnés appelés nœuds, une fonction spline est définie par un polynôme sur chaque sous-intervalle. Son degré est le plus grand degré autorisé pour ces polynômes. Les morceaux peuvent différer, mais leurs valeurs et certaines de leurs dérivées doivent coïncider aux nœuds selon la régularité choisie.

Pour des nœuds x₀ < x₁ < … < x_n, un morceau polynomial p_i agit entre x_i et x_i+1. Dans la convention cubique classique à nœuds simples, chaque morceau est de degré au plus 3 et, à tout nœud intérieur, les raccords vérifient : La fonction, sa dérivée première et sa dérivée seconde sont donc continues.

Une spline de degré 1 donne une ligne polygonale. Une spline cubique peut interpoler les valeurs, donc passer exactement par elles, ou servir au lissage, donc approcher des données bruitées. Des conditions supplémentaires aux extrémités sont nécessaires pour sélectionner une interpolation cubique unique ; la spline naturelle impose une dérivée seconde nulle aux deux extrémités.

Une spline réunit quatre éléments nécessaires. L'intervalle fixe le domaine étudié. Les nœuds le découpent en sous-intervalles. Un polynôme local décrit la fonction sur chacun d'eux. Enfin, les conditions de raccordement précisent quelles valeurs de dérivées doivent être communes de part et d'autre des nœuds intérieurs.

La position des nœuds détermine où un morceau cède la place au suivant. Le degré et les raccordements déterminent ensemble la souplesse disponible : deux cubiques voisines peuvent avoir des coefficients différents tout en partageant valeur, pente et courbure au nœud. Pour une interpolation, les valeurs à atteindre et les conditions aux extrémités complètent ces données. L'ensemble de ces contraintes permet de calculer les coefficients si leur nombre est approprié et si le système associé est compatible et déterminé. La couleur ou l'épaisseur du tracé ne fait pas partie de la spline.

On cherche une spline cubique naturelle passant par les trois points A(0 ; 0), B(1 ; 1) et C(2 ; 0). La variable x parcourt l'intervalle [0 ; 2]. Le nœud intérieur est x = 1. La dérivée seconde doit valoir 0 aux extrémités 0 et 2.

1. Sur [0 ; 1], prenez le polynôme $p_0(x)=\frac{3x-x^3}{2}p\_0(x)=\backslash frac\{3x-x^3\}\{2\}$.
2. Sur [1 ; 2], posez t = x − 1, puis prenez $p_1(x)=1-\frac{3}{2}{t}^2+\frac{1}{2}{t}^{3}p\_1(x)=1-\backslash frac\{3\}\{2\}t^2+\backslash frac\{1\}\{2\}t^3$.
3. Vérifiez les valeurs : p₀(0) = 0, p₀(1) = p₁(1) = 1 et p₁(2) = 0.
4. Au nœud, les pentes valent toutes deux 0 et les dérivées secondes valent toutes deux −3.

Les deux morceaux forment donc une courbe cubique sans rupture de valeur, de pente ni de courbure en B. Un dernier contrôle confirme le caractère naturel : les dérivées secondes aux extrémités 0 et 2 valent 0. La représentation rend visible le changement de polynôme au nœud, sans angle dans la courbe.

Pour interpoler une série de valeurs, on place les nœuds aux abscisses connues, on choisit les conditions aux extrémités, puis on calcule les morceaux. Une spline cubique est préférable à une ligne polygonale lorsque la pente et la courbure doivent évoluer sans saut.

Pour lisser des mesures bruitées, on ne force pas nécessairement la courbe à travers chaque point. On règle plutôt un compromis entre proximité des données et faible courbure. L'interpolation reste adaptée lorsque les valeurs sont considérées comme exactes.

En infographie et en conception assistée par ordinateur, certaines représentations spline permettent de modifier localement une courbe. Une représentation spline ou une courbe de Bézier se choisit selon le contrôle recherché sur les raccords et sur la zone affectée par une modification.

Une courbe de Bézier est décrite par des points de contrôle et un polynôme paramétrique sur un segment de paramètre. Une spline est une fonction polynomiale par morceaux raccordés à des nœuds. Les catégories peuvent se recouvrir : des morceaux de Bézier peuvent être raccordés en spline. Le changement de formule à un nœud intérieur, et non la seule présence de points de contrôle, révèle la structure par morceaux.

Un polynôme interpolateur global utilise un seul polynôme sur tout l'intervalle. Une spline peut ne comporter qu'un morceau, mais elle en utilise souvent plusieurs, avec des raccordements. Dans l'exemple, les deux morceaux sont des polynômes distincts de part et d'autre de x = 1 : c'est ce qui écarte le modèle polynomial global, même si la courbe entière est lisse.

Une régression polynomiale ajuste un polynôme unique sans passer nécessairement par les observations. Une spline d'interpolation passe par toutes les valeurs prescrites. Si une courbe manque volontairement B(1 ; 1) pour réduire l'effet du bruit, elle réalise un lissage plutôt que l'interpolation de l'exemple.

Le mot « cubique » fixe un degré maximal, mais ne garantit pas à lui seul deux dérivées continues. Cette régularité dépend des conditions de raccordement et, dans certaines représentations, de la multiplicité des nœuds. Il faut donc vérifier les raccords plutôt que déduire la douceur du seul degré 3.

Trois valeurs interpolées ne déterminent pas seules une spline cubique unique. Dans l'exemple, les deux conditions naturelles, dérivée seconde nulle en 0 et en 2, lèvent l'indétermination. Avec d'autres conditions aux extrémités, une autre spline peut passer par les mêmes trois points.

L'interpolation exacte n'est pas toujours souhaitable. Si une mesure bruitée impose un pic isolé, la spline le reproduit et peut osciller entre deux nœuds. Il faut alors employer un lissage ou ajouter une contrainte de forme, puis contrôler la courbe entre les données, pas seulement aux nœuds.

Une spline est construite sur un intervalle donné. Prolonger le premier ou le dernier polynôme au-delà des nœuds extrêmes constitue une extrapolation et peut produire une évolution sans rapport avec les données. Hors de [0 ; 2] dans l'exemple, aucune valeur n'est justifiée par la construction.

spline cubique — Approfondissez le cas où chaque morceau est de degré au plus 3 et les raccords portent sur deux dérivées.

courbe de Bézier — Comparez la définition par points de contrôle avec la construction par polynômes raccordés aux nœuds.

Les courbes de Bézier — Examinez plus en détail cette représentation paramétrique employée pour concevoir et modifier des courbes.