AnalyseReprésentation graphique · Glossaire
courbe de Bézier
Une courbe de Bézier est une courbe paramétrique déterminée par des points de contrôle : pour chaque t ∈ [0, 1], son point est le barycentre de ces points, pondérés par les polynômes de Bernstein. Ces poids, positifs ou nuls et de somme 1, varient avec t ; déplacer un point de contrôle modifie donc la forme de la courbe, ce qui rend cet outil utile pour dessiner et modéliser des tracés lisses.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier le rôle du paramètre et des points de contrôle.
- Calculer le point d’une cubique pour t = 1/2.
- Distinguer la courbe du polygone de Bézier.
- Reconnaître les cas du segment, des points répétés et du paramètre hors intervalle.
En clair
Dans un logiciel graphique, placez quatre points : deux marquent le départ et l’arrivée, deux autres attirent le tracé. Ils définissent une courbe de Bézier de degré nominal 3 ; selon leur disposition, le tracé peut toutefois être rectiligne ou dégénéré. Il ne relie pas successivement tous les points comme une ligne brisée : leur position pilote sa forme.
Déplacer un point de contrôle modifie donc la courbe de manière continue. Avec seulement deux points, le tracé se réduit au segment qui les joint.
Définition
Une courbe de Bézier de degré n est une courbe paramétrique déterminée par n + 1 points de contrôle, notés P0, P1, …, Pn. Le paramètre réel t parcourt l’intervalle [0, 1]. Pour chaque valeur de t, les points de contrôle sont combinés avec des poids polynomiaux.
Le coefficient binomial associé aux indices n et i est noté . Le point P(t) est donné par :
Les poids sont les polynômes de Bernstein de degré n. Pour t compris entre 0 et 1, ils sont positifs ou nuls et leur somme vaut 1 : P(t) est donc un barycentre des points de contrôle.
Les segments reliant successivement les points de contrôle forment le polygone de Bézier, qui sert de guide géométrique pour le tracé sans se confondre avec lui. Le degré 1, défini par deux points, produit un segment. Le degré 3, défini par quatre points, est le cas le plus employé dans les logiciels graphiques. Ces courbes servent aussi en infographie, en CAO et dans le traitement d’images numériques.
Où on le rencontre
Dans un logiciel graphique ou de CAO, une courbe de Bézier se reconnaît à plusieurs marqueurs visibles : un tracé lisse, des points de contrôle manipulables et une ligne brisée qui relie ces points. Pour une cubique, quatre points suffisent ; les deux extrêmes fixent le départ et l’arrivée, tandis que les deux points intermédiaires infléchissent le parcours.
Ce support porte une forme définie par les points de contrôle et par le paramètre qui parcourt la courbe. La même construction intervient en infographie, en conception assistée par ordinateur et dans le traitement d’images numériques.
Le mode d'emploi
La grandeur à lire est la position P(t) obtenue lorsque le paramètre t va de 0 à 1. Une représentation de la cubique utilisée dans l’exemple montre simultanément son tracé et son polygone de contrôle.
1. Repérez l’ordre P0, P1, P2, P3. À t = 0, la courbe passe par P0 ; à t = 1, elle passe par P3.
2. Choisissez une valeur de t dans [0, 1], puis calculez les quatre poids de Bernstein. Leur somme doit être égale à 1.
3. Multipliez chaque point par son poids et additionnez les coordonnées. Le résultat est un point de la courbe, pas un sommet supplémentaire du polygone.
L’œil peut prendre la ligne brisée des points de contrôle pour le tracé lui-même. Le bon réflexe consiste à distinguer le polygone, qui guide et approche la forme, de la courbe paramétrée qu’il définit.
Un exemple, pas à pas
Considérons une courbe cubique avec P0 = (0 ; 0), P1 = (0 ; 3), P2 = (4 ; 3) et P3 = (4 ; 0). Nous cherchons le point correspondant à t = 1/2. La figure associée représente exactement ces quatre données et le tracé obtenu.
1. Pour une cubique, les quatre poids sont .
2. Pour t = 1/2, ces poids valent exactement 1/8, 3/8, 3/8 et 1/8. Leur somme vaut 1, ce qui contrôle le calcul.
3. La combinaison pondérée est :
4. Pour l’abscisse, on obtient 0/8 + 0 + 12/8 + 4/8 = 2. Pour l’ordonnée, on obtient 0 + 9/8 + 9/8 + 0 = 9/4. Ainsi, P(1/2) = (2 ; 9/4), soit (2 ; 2,25). La symétrie des points de contrôle par rapport à la droite d’abscisse 2 confirme l’abscisse du résultat.
En pratique
Dans un logiciel graphique, quatre points de contrôle définissent une Bézier de degré nominal 3, que l’on ajuste en déplaçant ces points ; dans une configuration dégénérée, son degré effectif peut être inférieur. Pour une liaison parfaitement droite, deux points et une courbe de degré 1 suffisent.
En conception assistée par ordinateur, le concepteur modifie le polygone de Bézier pour modeler une forme. Il préfère une cubique lorsqu’il faut obtenir une courbure avec quatre points de contrôle plutôt qu’un simple segment.
Dans le traitement d’images numériques, la courbe fournit une représentation paramétrique d’une forme. Les points de contrôle portent alors la géométrie à ajuster, tandis que le paramètre situe chaque point du tracé.
À ne pas confondre
Courbe de Bézier et polygone de Bézier. Le polygone relie successivement les points de contrôle par des segments ; la courbe est l’ensemble des points P(t) calculés pour t dans [0, 1]. Dans l’exemple, le polygone passe par P1 = (0 ; 3), tandis que la courbe ne suit pas les deux segments qui s’y rencontrent.
Limites et pièges
Degré 1. Avec exactement deux points de contrôle, il n’y a aucune courbure : la courbe de Bézier est le segment qui les joint. Il faut augmenter le degré et fournir davantage de points pour obtenir le type de tracé courbe de l’exemple.
Points répétés. Si plusieurs points de contrôle coïncident, le polygone présente des sommets ou des segments confondus. Il faut conserver leurs multiplicités dans la formule : les supprimer changerait les poids et donc la courbe.
Paramètre hors intervalle. La définition donnée porte sur t ∈ [0, 1]. Introduire une valeur extérieure calcule bien la même expression polynomiale, mais ne décrit plus la courbe de Bézier telle qu’elle est définie ici ; il faut revenir à l’intervalle annoncé.
Guide visuel. Le polygone de contrôle aide à anticiper la forme, mais ses arêtes ne coïncident généralement pas avec des morceaux de la courbe. Le degré 1 est le cas non dégénéré où la courbe coïncide systématiquement avec son unique arête ; une coïncidence reste possible dans des cas dégénérés de degré supérieur. Pour vérifier un point, il faut calculer P(t).
Pour aller plus loin
Les polynômes de Bernstein détaillent les poids qui varient avec t dans la formule d’une courbe de Bézier.
Le barycentre éclaire pourquoi chaque point P(t) résulte d’une combinaison pondérée des points de contrôle.
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