AnalyseObjet mathématique · Glossaire
polynôme de Bernstein
Pour tout entier n ≥ 0, les n + 1 polynômes de Bernstein forment une base de l'espace des polynômes de degré au plus n. Sur [0, 1], leurs valeurs sont des poids positifs de somme 1 ; si f y est continue, la moyenne pondérée de ses valeurs aux points k/n est un polynôme qui converge uniformément vers f lorsque n tend vers l'infini. Ils permettent ainsi d'approcher toute fonction continue sur cet intervalle avec une précision arbitraire.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les n + 1 polynômes de la base et le rôle de chacun de leurs facteurs.
- Construire le polynôme de Bernstein d'une fonction continue à partir des valeurs f(k/n).
- Recalculer l'approximation de t² au degré 2 et constater l'écart au point 1/2.
- Distinguer approximation de Bernstein, interpolation polynomiale et courbe de Bézier.
- Repérer les hypothèses d'intervalle, de continuité et de degré nécessaires.
En clair
Imaginez quelques hauteurs relevées entre les positions 0 et 1. Les polynômes de Bernstein transforment ces valeurs en une courbe lisse. À chaque position, ils attribuent des poids positifs aux relevés, avec un poids total égal à 1.
Quand le degré augmente, les relevés deviennent plus nombreux et plus proches. Pour une fonction continue, la moyenne pondérée finit alors par suivre toute la courbe avec une erreur uniformément petite sur l'intervalle.
Définition
Soit n un entier naturel fixé et soit k un entier compris entre 0 et n. Le k-ième polynôme de Bernstein de degré n, évalué au nombre réel t, est défini par : . Lorsque t appartient à [0, 1], ces n + 1 polynômes sont positifs ou nuls et leur somme vaut 1. Ils forment une base de l'espace des polynômes de degré au plus n.
Soit f une fonction continue sur [0, 1]. Pour tout entier n au moins égal à 1, son polynôme de Bernstein de degré n utilise les valeurs de f aux points k/n :
Le théorème d'approximation de Bernstein affirme que l'écart maximal entre Pn(f) et f sur [0, 1] tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini. Cette convergence uniforme fournit une preuve constructive du théorème d'approximation de Weierstrass sur cet intervalle.
Les valeurs f(k/n) sont les coefficients de la combinaison dans la base de Bernstein. Elles ne signifient pas, en général, que Pn(f) passe par chacun des points échantillonnés. Les deux extrémités font exception : Pn(f)(0) = f(0) et Pn(f)(1) = f(1).
De quoi c'est fait
Un élément de la base réunit quatre pièces. Le degré n fixe le nombre n + 1 de polynômes. L'indice k choisit l'un d'eux. Le coefficient binomial compte les combinaisons associées à cet indice. Enfin, les facteurs tk et (1 − t)n−k répartissent son poids le long de l'intervalle.
Le degré et l'indice déterminent donc à la fois le coefficient et les deux exposants. Ensemble, les n + 1 poids totalisent 1 sur [0, 1]. Pour construire Pn(f), chaque poids Bk,n(t) est multiplié par la valeur f(k/n), puis les produits sont additionnés. Ces données suffisent à calculer l'approximation en toute position t ; la couleur ou le tracé d'une courbe n'appartiennent pas à la définition.
Un exemple, pas à pas
On approche la fonction qui associe t² à chaque nombre t de [0, 1], au degré n = 2. Les trois points d'échantillonnage sont 0, 1/2 et 1. Leurs valeurs sont respectivement 0, 1/4 et 1. On cherche l'approximation en t = 1/2.
1. Les trois poids de Bernstein au point 1/2 sont calculés :
B0,2(1/2) = (1 − 1/2)² = 1/4 ;
B1,2(1/2) = 2 × 1/2 × (1 − 1/2) = 1/2 ;
B2,2(1/2) = (1/2)² = 1/4. Leur somme vaut bien 1.
B0,2(1/2) = (1 − 1/2)² = 1/4 ;
B1,2(1/2) = 2 × 1/2 × (1 − 1/2) = 1/2 ;
B2,2(1/2) = (1/2)² = 1/4. Leur somme vaut bien 1.
2. Chaque valeur échantillonnée est multipliée par son poids : . L'approximation vaut donc 3/8, soit 0,375.
3. En développant pour une position t quelconque, on obtient P2(f)(t) = (t + t²)/2. Le contrôle en t = 1/2 redonne (1/2 + 1/4)/2 = 3/8. La valeur exacte de f en ce point est 1/4 : l'écart vaut 1/8, ce qui confirme qu'il s'agit d'une approximation, non d'une interpolation intérieure.
En pratique
Pour approcher une fonction continue connue par ses valeurs, on choisit un degré, on évalue la fonction aux points réguliers k/n, puis on forme la combinaison pondérée. Si le calcul doit passer exactement par des points imposés, une interpolation est plus adaptée.
Pour conserver automatiquement des valeurs entre le minimum et le maximum des coefficients, la base de Bernstein est utile : les poids sont positifs et totalisent 1 sur [0, 1]. Une autre base polynomiale peut être préférée lorsque la priorité est de simplifier une dérivation ou une intégration symbolique.
En conception de courbes de Bézier, les mêmes poids combinent des points de contrôle plutôt que des valeurs f(k/n). Le critère visible est alors géométrique : la courbe reste dans l'enveloppe convexe de ces points.
À ne pas confondre
Interpolation polynomiale. Un polynôme interpolateur passe exactement par toutes les données imposées. L'opérateur de Bernstein utilise les valeurs f(k/n) comme coefficients, mais ne les reproduit normalement qu'aux extrémités. Dans l'exemple, P2(f)(1/2) = 3/8 tandis que f(1/2) = 1/4 : ce seul calcul tranche.
Courbe de Bézier. Les polynômes de Bernstein sont des fonctions scalaires formant une base. Une courbe de Bézier est l'objet géométrique obtenu en pondérant des points de contrôle par cette base. Des coefficients numériques produisent un polynôme à valeurs réelles ; des points du plan produisent une courbe paramétrée.
Théorème de Stone-Weierstrass. Le théorème de Bernstein donne ici une suite explicite d'approximants sur [0, 1]. Stone-Weierstrass est un résultat plus général sur la densité de certaines algèbres de fonctions ; il ne désigne pas cette formule pondérée particulière.
Limites et pièges
Degré nul. La base de degré 0 contient seulement le polynôme constant 1, mais la formule d'approximation avec les points k/n comporte alors 0/0. Pour l'opérateur Pn(f), il faut prendre n ≥ 1 ou définir séparément une constante.
Fonction discontinue. La garantie de convergence uniforme exige la continuité de f sur tout l'intervalle fermé [0, 1]. En présence d'un saut, il ne faut pas invoquer ce théorème ; on étudie plutôt la convergence point par point et le comportement près du saut.
Valeurs hors de [0, 1]. La formule définit encore des polynômes pour tout nombre réel t, mais les poids ne sont plus tous positifs hors de l'intervalle. L'interprétation comme moyenne pondérée et la garantie d'approximation annoncée concernent [0, 1].
Degré élevé. Calculer séparément de grands coefficients binomiaux peut créer des valeurs intermédiaires inutiles en machine. Une récurrence stable sur les poids, ou l'algorithme de De Casteljau pour une courbe de Bézier, évite ce symptôme numérique.
Pour aller plus loin
courbe de Bézier. Voyez comment la base de Bernstein pondère des points de contrôle pour construire une courbe paramétrée.
loi binomiale. Retrouvez la même famille de poids et leur interprétation probabiliste, utile pour lire l'opérateur d'approximation.
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