Serguei Bernstein (1880-1968)

Entre 1880 et 1968, le mathématicien russo-soviétique Serguei Bernstein a travaillé sur plusieurs façons de maîtriser l'incertitude. En approximation, il remplace la courbe d'une fonction continue par des polynômes construits à partir de valeurs régulièrement espacées entre 0 et 1.

Lorsque le nombre de points augmente, ces polynômes se rapprochent de toute la courbe, partout sur l'intervalle. En probabilités, une autre contribution de Bernstein évalue la rareté d'un grand écart dans une somme de variables aléatoires indépendantes et bornées.

Serguei Bernstein (1880-1968) est un mathématicien russo-soviétique dont les travaux relient notamment l'analyse, l'approximation et les probabilités. Pour une fonction continue notée f sur l'intervalle [0,1] et un entier positif n, son polynôme de degré au plus n utilise les valeurs de f aux points k/n, où l'entier k va de 0 à n.

En notant ce polynôme B_n(f), sa construction est : Quand l'entier n tend vers l'infini, B_n(f) converge uniformément vers f sur [0,1]. Autrement dit, l'écart maximal sur tout l'intervalle tend vers zéro. Cette construction fournit une preuve constructive du théorème de Weierstrass.

En théorie des probabilités, l'inégalité de Bernstein borne de façon exponentielle la probabilité qu'une somme s'écarte fortement de sa valeur attendue, sous les hypothèses d'indépendance et de bornes sur les variables aléatoires. Bernstein a aussi contribué à l'étude des équations différentielles elliptiques.

On approche la fonction qui associe à tout nombre x son carré, sur [0,1], par son polynôme de Bernstein de degré 2. Les données sont n = 2 et les trois valeurs f(0) = 0, f(1/2) = 1/4 et f(1) = 1.

1. Remplacer dans la somme les trois valeurs de la fonction donne :

2. Réduire l'expression conduit exactement à :

3. Au milieu de l'intervalle, pour x = 1/2, le polynôme vaut 3/8, tandis que la fonction vaut 1/4. L'écart est donc 1/8.

Le contrôle se refait en soustrayant les deux expressions : B₂(f)(x) − f(x) = x(1 − x)/2. Cet écart est nul aux extrémités et maximal en x = 1/2, où il vaut bien 1/8. La figure rend visibles ces trois constats.

En approximation, la construction de Bernstein transforme des valeurs échantillonnées sur [0,1] en un polynôme. Elle est particulièrement instructive quand on veut voir concrètement pourquoi une fonction continue peut être approchée uniformément.

Pour contrôler l'approximation, on examine l'écart maximal sur tout l'intervalle, et pas seulement quelques points. Si cet écart doit diminuer, on augmente le degré n et on compare de nouveau les deux courbes.

En probabilités, l'inégalité de Bernstein sert lorsque les termes additionnés sont indépendants et bornés. Si ces hypothèses ne sont pas établies, il faut choisir une borne adaptée aux dépendances ou aux variables non bornées plutôt que d'appliquer automatiquement cette inégalité.

Polynômes de Bernstein et inégalité de Bernstein. Les premiers approchent une fonction continue sur [0,1] ; la seconde borne une probabilité de déviation. La présence d'une fonction et d'un degré n signale le problème d'approximation, tandis qu'une somme de variables aléatoires signale le problème probabiliste.

Résultats de Serguei Bernstein et théorème de Cantor–Bernstein. Le nom Bernstein apparaît dans plusieurs résultats. Si l'énoncé compare deux ensembles au moyen d'injections, il s'agit de Cantor–Bernstein ; s'il approche une fonction continue ou borne une déviation probabiliste, il relève des travaux présentés ici.

Continuité indispensable. La convergence uniforme annoncée concerne toute fonction continue sur [0,1]. Si la fonction présente une discontinuité, cette conclusion ne découle pas du résultat cité ; il faut analyser un autre mode ou un autre procédé d'approximation.

Un faible degré ne reproduit pas forcément la fonction. Dans l'exemple de degré 2, l'écart atteint 1/8 en x = 1/2, même si les deux expressions coïncident en 0 et en 1. Il faut contrôler le maximum de l'écart, pas seulement les extrémités.

Hypothèses probabilistes à vérifier. L'indépendance et le caractère borné des variables ne sont pas des détails. Si l'une de ces conditions manque, la borne exponentielle attribuée ici à Bernstein ne peut pas être invoquée telle quelle.

La construction devient plus parlante quand on étudie séparément ses poids, tous non négatifs sur [0,1], puis l'évolution de l'écart maximal quand le degré augmente. Ce passage relie une formule explicite à l'idée de convergence uniforme.

Le glossaire polynôme de Bernstein détaille l'objet d'approximation qui porte son nom et permet d'approfondir sa construction.