Stone-Weierstrass (théorème de)

Imaginez la courbe de la fonction qui associe à chaque nombre entre −1 et 1 sa distance à zéro. Elle forme un V, tandis qu’un polynôme produit une courbe lisse. Le théorème affirme pourtant que des polynômes bien choisis peuvent suivre ce V d’aussi près que souhaité sur tout l’intervalle à la fois.

Cette idée dépasse les seuls polynômes. Une famille de fonctions assez riche pour combiner ses éléments, produire les constantes et distinguer deux points peut approcher toute fonction continue sur un espace compact.

Soit K un espace compact et soit C(K, ℝ) l’ensemble des fonctions continues de K vers les nombres réels. Une sous-algèbre A de C(K, ℝ) est une famille stable par addition, multiplication, multiplication par un réel et contenant les résultats de ces opérations. Elle sépare les points lorsque, pour deux points distincts de K, au moins une fonction de A prend des valeurs différentes en ces deux points.

La norme uniforme d’une fonction g mesure sa plus grande valeur absolue sur K : $\parallel g{\parallel }_{\mathrm{\infty }}={\max }_{x\in K}\mathrm{\mid }g(x)\mathrm{\mid }\backslash lVert\; g\backslash rVert\_\backslash infty=\backslash max\_\{x\backslash in\; K\}|g(x)|$. Dire que A est dense signifie que, pour toute fonction f de C(K, ℝ) et tout nombre réel ε strictement positif, il existe une fonction a de A telle que . L’erreur est donc petite simultanément en chaque point, et non seulement en moyenne.

Le théorème de Stone-Weierstrass assure cette densité lorsque A contient les fonctions constantes et sépare les points de K. Il généralise ainsi l’approximation polynomiale et couvre notamment les polynômes trigonométriques pour les fonctions continues périodiques.

Soit K un espace compact. Si A est une sous-algèbre réelle de C(K, ℝ), si A contient toutes les fonctions constantes et si A sépare les points de K, alors A est dense dans C(K, ℝ) pour la norme uniforme. Autrement dit, pour toute fonction continue f sur K et toute précision ε positive, il existe un élément a de A vérifiant .

Le domaine K doit être compact, et les fonctions considérées doivent être continues et réelles. La famille A doit être une sous-algèbre : ses sommes, produits et multiples réels restent dans A. Elle doit aussi contenir les fonctions constantes. Enfin, pour tous points distincts x et y de K, une fonction a de A doit vérifier $a(x)\mathrm{\ne }a(y)a(x)\backslash ne\; a(y)$.

Une famille composée seulement des fonctions constantes échoue : elle ne distingue aucun couple de points. Le théorème ne permet donc pas d’en déduire qu’elle approche une fonction continue non constante. Il faut élargir la famille jusqu’à obtenir la séparation des points, puis contrôler de nouveau les autres hypothèses.

Sur l’intervalle K = [−1, 1], considérons la fonction f définie par f(x) = |x| et la famille A de tous les polynômes réels. Les données sont l’intervalle compact K, la fonction continue f et la norme uniforme.

1. Les sommes, produits et multiples réels de polynômes sont encore des polynômes. Les polynômes constants appartiennent à A.

2. Le polynôme x ↦ x sépare deux nombres distincts de K. Toutes les hypothèses du théorème sont donc satisfaites.

3. Un premier approximant concret est le polynôme p₄ suivant :Il coïncide avec f aux extrémités −1 et 1. Son écart maximal vaut 3/8 et se trouve en x = 0.

4. Ce degré 4 illustre le mécanisme sans fournir une grande précision. Le théorème garantit que, pour toute valeur ε positive, on peut choisir un autre polynôme p dont l’écart maximal à |x| sur tout K est inférieur à ε. Le contrôle consiste à examiner le maximum de |f(x) − p(x)| sur l’intervalle entier.

Pour approcher une fonction continue sur un intervalle fermé et borné, on peut travailler avec des polynômes. Le geste essentiel consiste à fixer une tolérance maximale sur tout l’intervalle, puis à chercher un polynôme qui la respecte.

Pour une fonction continue périodique, les polynômes trigonométriques constituent la famille adaptée. Ils préservent naturellement la périodicité, contrairement à un polynôme ordinaire considéré sur toute la droite.

Avant d’invoquer le théorème pour une autre famille, on teste séparément la stabilité algébrique, la présence des constantes et la séparation de chaque paire de points. Le résultat garantit alors l’existence d’approximants ; il ne choisit pas à lui seul le meilleur ni ne donne leur degré.

Approximation uniforme et approximation ponctuelle. Une approximation ponctuelle peut converger à chaque point avec une vitesse qui dépend du point. L’approximation uniforme impose une même borne d’erreur sur tout K. Si le maximum de |f − a| reste supérieur à la tolérance, l’approximation n’est pas uniforme à cette précision.

Théorème de Weierstrass et théorème de Stone-Weierstrass. Le premier cas concerne l’approximation par des polynômes sur un intervalle compact. Stone-Weierstrass remplace cette famille particulière par une sous-algèbre satisfaisant des conditions précises. Pour f(x) = |x| sur [−1, 1], les deux formulations conduisent à l’approximation polynomiale.

Oublier la compacité. Sur un domaine non compact, le maximum qui définit la norme uniforme peut ne pas exister ou l’erreur peut devenir non bornée. Il faut alors choisir un compact, une autre norme ou un autre résultat adapté au domaine.

Négliger la séparation. Si tous les éléments de A prennent la même valeur en deux points distincts, aucune limite uniforme d’éléments de A ne peut attribuer deux valeurs différentes à ces points. Il faut donc vérifier cette condition paire par paire ou produire une règle générale qui l’assure.

Lire le théorème comme une recette. La densité affirme l’existence d’un approximant pour chaque ε > 0, mais elle ne fournit ni algorithme, ni degré minimal, ni vitesse de convergence. Dans l’exemple, p₄ a encore une erreur de 3/8 ; obtenir une tolérance plus petite demande une construction supplémentaire.

Changer silencieusement de corps de nombres. L’énoncé donné porte sur des fonctions à valeurs réelles. Une formulation pour des fonctions complexes exige des hypothèses adaptées ; il ne faut pas la déduire automatiquement de la version réelle présentée ici.

La notion de fonction continue précise la régularité exigée avant toute approximation uniforme.

Le polynôme trigonométrique donne le cas périodique cité par le théorème et montre qu’une autre sous-algèbre peut jouer le rôle des polynômes ordinaires.

La fiche Weierstrass Karl replace le nom associé au théorème d’approximation que Stone-Weierstrass généralise.