fonction de Weierstrass

Tracez une vague douce, puis ajoutez une vague plus petite qui oscille sept fois plus vite. Recommencez en réduisant encore la hauteur et en multipliant encore la fréquence par sept. La courbe reste d’un seul tenant, mais chaque agrandissement fait apparaître de nouvelles rides.

La fonction de Weierstrass est la limite de cette superposition sans fin. Les rides deviennent assez fines pour empêcher toute tangente de se stabiliser, sans provoquer de saut. Elle montre ainsi qu’une courbe peut être continue partout et n’avoir de dérivée nulle part.

La fonction de Weierstrass est une famille de fonctions réelles obtenues par une série de cosinus. Pour un nombre réel x, un paramètre d’amplitude a et un paramètre de fréquence b, elle s’écrit :

Le rang n parcourt les entiers à partir de 0. Le réel a vérifie 0 < a < 1 : les amplitudes aⁿ diminuent donc géométriquement. Le nombre b est un entier impair : les fréquences bⁿ augmentent géométriquement. Dans les conditions classiques données ici, le produit ab doit vérifier $ab>1+\frac{3\pi }{2}ab>1+\backslash frac\{3\backslash pi\}\{2\}$. La diminution des amplitudes assure la convergence uniforme, donc la continuité de la somme sur ℝ. L’augmentation beaucoup plus rapide des fréquences entretient des oscillations à toute échelle ; sous ces hypothèses, la fonction n’est dérivable en aucun point. Ce contre-exemple établit que la continuité n’implique pas la dérivabilité.

La construction associe cinq éléments. Le rang n numérote les couches. Le coefficient aⁿ fixe l’amplitude de la couche n : comme 0 < a < 1, cette hauteur décroît. La puissance bⁿ fixe sa fréquence : comme b > 1 dans les conditions annoncées, les oscillations se resserrent. Le cosinus transforme ces deux données en une onde, puis la somme superpose toutes les ondes.

Amplitude et fréquence ne jouent donc pas séparément. Le paramètre a rend chaque nouvelle ride plus basse, tandis que b la rend plus fine ; leur produit ab mesure cet affrontement d’échelles. Les sommes partielles, obtenues en s’arrêtant à un rang fini N, sont des courbes lisses. C’est leur limite lorsque N grandit qui constitue la fonction et porte les oscillations de tous les rangs. Ces données suffisent à calculer une approximation aussi précise qu’on le souhaite.

Données. Prenons a = 0,9 et b = 7. Pour un entier N ≥ 0, la somme partielle S_N conserve les termes de rang 0 à N. Nous allons vérifier les conditions, calculer trois valeurs exactes de la somme infinie et contrôler une approximation.

1. On a 0 < 0,9 < 1 et 7 est un entier impair. De plus, ab = 6,3, tandis que 1 + 3π/2 ≈ 5,712. La condition 6,3 > 5,712 est donc satisfaite.

2. Au point x = 0, tous les cosinus valent 1. La somme devient une série géométrique : $f(0)={\sum }_{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{0,9}}^n=\frac{1}{1-\mathrm{0,9}}=10f(0)=\backslash sum\_\{n=0\}^\{+\backslash infty\}0\{,\}9^n=\backslash frac\{1\}\{1-0\{,\}9\}=10$.

3. Au point x = 1, chaque puissance 7ⁿ est impaire, donc cos(7ⁿπ) = −1. Il en résulte exactement f(1) = −10. Au point x = 1/2, l’angle est toujours un multiple impair de π/2 ; chaque terme est nul et f(1/2) = 0.

4. Au point x = 0, les quatre premières sommes partielles valent S₀(0) = 1, S₁(0) = 1,9, S₂(0) = 2,71 et S₃(0) = 3,439. Chaque rang ajoute une ride plus petite mais sept fois plus fréquente.

Contrôle. Quel que soit x, la valeur absolue du reste après S_N est au plus $\frac{{\mathrm{0,9}}^{N+1}}{1-\mathrm{0,9}}=10\times {\mathrm{0,9}}^{N+1}\backslash frac\{0\{,\}9^\{N+1\}\}\{1-0\{,\}9\}=10\backslash times0\{,\}9^\{N+1\}$. Pour N = 50, cette borne vaut environ 0,0464. La figure calculée compare la première onde à S₂ sur un court intervalle et rend visibles les rides ajoutées.

Pour tester une intuition sur les courbes, la fonction de Weierstrass sert de contre-exemple : une absence de saut ne garantit pas l’existence d’une tangente. Si la question porte seulement sur une fonction usuelle donnée par une formule finie, les règles ordinaires de dérivation sont plus directes.

Pour tracer la fonction, on calcule une somme partielle S_N et on borne le reste par a^N+1/(1 − a). On augmente N jusqu’à ce que cette borne soit inférieure à la précision voulue. Un simple arrêt lorsque le dessin paraît stable ne suffit pas, car de nouvelles oscillations apparaissent à des échelles plus fines.

Pour relier une série à sa régularité, on examine séparément la taille des coefficients et la croissance des fréquences. Une estimation de convergence uniforme traite la continuité ; l’étude des oscillations traite la dérivabilité. Les confondre ferait perdre le mécanisme central de l’exemple.

Avec le théorème de Bolzano-Weierstrass. Ce théorème concerne l’extraction d’une sous-suite convergente dans une suite bornée. La fonction de Weierstrass est, elle, une somme infinie de cosinus continue et nulle part dérivable. Une question sur des indices extraits appelle le théorème ; une question sur une courbe sans tangente appelle la fonction.

Avec le théorème de Stone-Weierstrass. Celui-ci porte sur l’approximation de fonctions continues par une algèbre de fonctions. Il ne désigne pas la série de cosinus étudiée ici. Le mot « approximation » et des polynômes orientent vers le théorème ; les paramètres a, b et les fréquences bⁿ orientent vers la fonction.

Avec une discontinuité. Une cassure ou un saut détruit la continuité. La courbe de Weierstrass ne saute pas : elle reste continue, mais ses pentes ne se stabilisent à aucune échelle. Observer une rupture de valeur tranche donc en faveur d’une discontinuité, pas de ce contre-exemple.

Condition suffisante, pas verdict réciproque. La condition source est ab > 1 + 3π/2, soit un seuil d’environ 5,712. Si ab est égal ou inférieur à ce seuil, cette formulation ne permet plus de conclure à la non-dérivabilité. Il faut alors employer un résultat adapté aux paramètres, et non déclarer automatiquement la fonction dérivable.

Somme partielle trompeuse. Pour tout rang fini N, S_N est une somme finie de cosinus et possède une courbe lisse. La non-dérivabilité concerne la limite de la série infinie. Une tangente visible sur un tracé tronqué ne prouve donc rien ; il faut contrôler le reste et le comportement quand N augmente.

Résolution graphique insuffisante. Des pixels trop larges peuvent lisser les hautes fréquences et faire croire à une courbe ordinaire. Le symptôme est un dessin qui change lorsque N ou le niveau de zoom augmente. Il faut annoncer le rang de troncature et accompagner l’image d’une borne sur le reste.

Continuité sans réciproque. L’exemple montre que la continuité n’entraîne pas la dérivabilité. Il ne rend pas les deux propriétés indépendantes au sens logique, car toute fonction dérivable en un point y est continue. Le bon acquis est donc l’échec d’une seule implication.

convergence uniforme — Montre pourquoi la limite des sommes partielles conserve ici la continuité.

série de Fourier — Replace la superposition de cosinus parmi les représentations de fonctions par fréquences.

fonction continue — Précise la propriété que la série conserve malgré ses oscillations à toutes les échelles.