AnalyseNotion · Glossaire
condition de Dirichlet
Les conditions de Dirichlet sont des critères suffisants pour garantir la convergence ponctuelle de la série de Fourier d'une fonction périodique : sur une période, celle-ci doit être bornée et ne présenter qu'un nombre fini de discontinuités et d'extrema locaux. La série converge alors vers la valeur de la fonction aux points de continuité, et vers la moyenne des limites à gauche et à droite aux discontinuités, ce qui permet de reconstruire un signal périodique jusque dans ses sauts.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Contrôler sur une période qu'une fonction est bornée et ne possède qu'un nombre fini de discontinuités et d'extrema.
- Déterminer la valeur de convergence aux points continus et aux sauts.
- Vérifier le mécanisme sur la série de Fourier d'une rampe périodique.
En clair
Imaginez un motif qui se répète, comme une rampe qui monte puis repart brusquement de son niveau le plus bas. Une série de Fourier cherche à reconstruire ce motif en additionnant des oscillations simples.
Les conditions de Dirichlet assurent que cette reconstruction se stabilise. Là où la courbe est continue, elle retrouve sa hauteur. À un saut, elle se stabilise exactement à mi-chemin entre les hauteurs atteintes de part et d'autre.
Définition
Les conditions de Dirichlet forment un critère suffisant de convergence ponctuelle pour la série de Fourier d'une fonction périodique. Elles s'examinent sur un intervalle représentant une période complète. La fonction doit y être bornée. Elle ne doit présenter qu'un nombre fini de discontinuités. Elle ne doit avoir qu'un nombre fini d'extrema locaux. Ces hypothèses décrivent notamment une fonction régulière par morceaux, sans oscillations infiniment serrées sur une période.
On note x le point où la série est évaluée. Si la fonction est continue en x, la série de Fourier converge vers sa valeur en ce point. Si elle possède en x une limite à gauche, notée f(x−), et une limite à droite, notée f(x+), la somme de la série vaut leur moyenne : . La conclusion porte donc sur la somme de la série, qui peut différer de la valeur attribuée à la fonction au point même du saut.
Le critère garantit la convergence, mais il n'affirme ni que ces conditions sont nécessaires, ni que la convergence est uniforme. Il s'applique en analyse de Fourier, en particulier aux signaux périodiques et à certaines résolutions d'équations aux dérivées partielles.
Un exemple, pas à pas
Considérons une rampe de période 2π. On note x sa variable réelle. Sur l'intervalle ouvert de −π à π, sa valeur est f(x)=x ; aux extrémités identifiées de chaque période, on lui attribue la valeur 0.
Données : période 2π ; valeurs comprises entre −π et π ; un saut par période ; aucune oscillation supplémentaire entre deux sauts.
Données : période 2π ; valeurs comprises entre −π et π ; un saut par période ; aucune oscillation supplémentaire entre deux sauts.
1. La rampe est bornée et monotone entre deux sauts. Sur une période, elle possède donc un nombre fini de discontinuités et d'extrema : les conditions de Dirichlet sont satisfaites.
2. Pour chaque entier positif n, le coefficient sinus, noté bn, se calcule par :
3. Entre −π et π, la somme obtenue est :
4. Au saut, la limite à gauche vaut π et la limite à droite vaut −π. Leur moyenne est (π−π)/2=0 : la série converge bien vers 0. Le même contrôle se refait à chaque extrémité d'une période.
En pratique
Pour étudier un signal périodique, on isole d'abord une période. On repère ses sauts, ses sommets et ses creux, puis on contrôle que leurs nombres restent finis et que l'amplitude est bornée.
Si ces contrôles réussissent, on peut interpréter la série de Fourier point par point. Sur une portion continue, sa somme restitue le signal. À un saut, on utilise la moyenne des deux valeurs limites, et non une valeur choisie arbitrairement au point du saut.
Si le motif oscille de plus en plus vite ou accumule une infinité d'extrema sur une seule période, ce critère élémentaire ne conclut plus. Il faut alors employer un résultat de convergence adapté à la régularité réelle de la fonction.
À ne pas confondre
Condition de Dirichlet pour une série de Fourier et condition aux limites de Dirichlet. La première contrôle la régularité d'une fonction périodique afin d'établir une convergence. La seconde impose la valeur d'une fonction sur le bord d'un domaine. La présence d'un bord où des valeurs sont prescrites signale le problème aux limites, pas le critère de Fourier.
Convergence ponctuelle et convergence uniforme. Les conditions présentées ici donnent une limite en chaque point, avec une règle particulière aux sauts. Elles ne garantissent pas qu'une même précision soit atteinte partout à partir du même rang. Un saut, où la somme vise une moyenne, suffit à distinguer les deux affirmations.
Limites et pièges
Un critère suffisant n'est pas une caractérisation. Si une fonction ne satisfait pas cette version des conditions, on ne peut pas conclure que sa série diverge. Le symptôme est seulement l'échec du test ; il faut chercher un théorème adapté à des hypothèses plus générales.
Les extrémités d'une période doivent être raccordées. Une fonction peut paraître continue sur l'intervalle dessiné tout en présentant un saut lorsque la fin du motif rejoint son début. Il faut comparer la limite atteinte en fin de période à celle qui ouvre la période suivante.
La valeur au saut ne commande pas la somme. Dans la rampe, les limites latérales sont π et −π : la valeur charnière est exactement 0. Même si une autre valeur était attribuée au point isolé, la série convergerait encore vers la moyenne 0 à cet endroit.
Pour aller plus loin
La fiche série de Fourier détaille la décomposition d'un motif périodique en fonctions sinusoïdales.
La fiche Discontinuité aide à reconnaître un saut et à distinguer la valeur d'une fonction de ses limites latérales.
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