Discontinuité

Suivez une courbe jusqu’à un point précis. Si le tracé oblige à lever le crayon, à changer brusquement de hauteur ou à s’approcher d’un trou, quelque chose rompt la continuité. Cette rupture est une discontinuité.

Le regard porté depuis la gauche et depuis la droite permet de préciser la rupture. Les deux côtés peuvent aboutir à des hauteurs différentes, viser la même hauteur sans que le point y soit placé, ou ne pas aboutir à une hauteur finie.

Soit une fonction f définie au point a, supposé point d’accumulation de son domaine. Elle est continue en a lorsque sa limite en ce point, prise relativement à son domaine, existe et coïncide avec sa valeur : ${\lim }_{x\to a}f(x)=f(a)\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; a\}\; f(x)=f(a)$. Une discontinuité en a apparaît dès que cette condition échoue. Pour diagnostiquer la rupture, on compare la limite à gauche, obtenue avec des nombres inférieurs à a, et la limite à droite, obtenue avec des nombres supérieurs à a.

Les discontinuités de première espèce sont celles pour lesquelles les deux limites unilatérales existent et sont finies. Il y a discontinuité de saut lorsque ces limites sont différentes. Il y a discontinuité effaçable lorsqu’elles donnent le même nombre fini, mais que f n’est pas définie en a ou que sa valeur y est différente. Dans ce dernier cas, attribuer à f(a) la valeur de la limite rétablit la continuité.

La discontinuité est dite essentielle, ou de deuxième espèce, lorsqu’au moins une limite unilatérale n’existe pas comme nombre fini, notamment à cause d’oscillations persistantes ou d’une divergence vers l’infini. Cette classification décrit le comportement local de la fonction ; elle joue un rôle central en analyse réelle et dans l’étude de l’intégration.

Considérons la fonction f qui vaut 0 lorsque le nombre réel x est strictement négatif, et 2 lorsque x est positif ou nul. On étudie le point a = 0. Les deux données utiles sont donc les valeurs constantes 0 à gauche et 2 à droite.

1. Quand x s’approche de 0 par valeurs négatives, f(x) reste égale à 0. La limite à gauche vaut donc 0.

2. Quand x s’approche de 0 par valeurs positives, f(x) reste égale à 2. La limite à droite vaut donc 2.

3. Comme 0 ≠ 2, la limite bilatérale de f en 0 n’existe pas. La fonction présente une discontinuité de saut de hauteur 2. Sa valeur f(0) = 2 ne change pas ce verdict.

Le contrôle se refait sans calcul : toute valeur négative, par exemple −0,001, donne 0, tandis que toute valeur positive, par exemple 0,001, donne 2. Le graphe correspondant montre les deux paliers et distingue le point exclu du palier gauche du point inclus dans le palier droit.

Devant une fonction définie par morceaux, on calcule séparément les limites à gauche et à droite au point où la formule change. Si elles diffèrent, le saut est établi ; une simple substitution dans l’une des formules ne suffit pas.

Devant un quotient indéfini au point étudié, on simplifie l’expression pour chercher une limite finie. Si cette limite existe, un prolongement par continuité peut combler le trou ; si le quotient diverge, il faut plutôt étudier une discontinuité infinie.

Sur un graphique, un cercle vide signale souvent une valeur exclue et un point plein la valeur effectivement prise. Ce codage aide à repérer un trou ou un saut, mais le verdict repose toujours sur les limites unilatérales et sur la valeur de la fonction.

Discontinuité et non-dérivabilité. Une fonction peut être continue sans être dérivable. La fonction valeur absolue ne présente aucun saut ni trou en 0, mais sa courbe y forme un angle : sa dérivée n’y existe pas.

Discontinuité et variation très rapide. Une courbe très raide peut rester continue. Pour la fonction qui associe à x le nombre 1 000x, les valeurs proches de 0 restent proches de 0 malgré la forte pente ; aucune rupture n’apparaît.

Changer seulement la valeur au point ne supprime pas un saut. Dans l’exemple, les limites unilatérales valent 0 et 2. Quelle que soit la valeur choisie pour f(0), elles restent différentes ; aucune redéfinition isolée ne rend la fonction continue.

Une oscillation persistante n’est pas un saut. Pour la fonction sin(1/x) près de 0, les valeurs oscillent entre −1 et 1 sans tendre vers un nombre d’un côté ou de l’autre. Il faut conclure à une discontinuité essentielle, pas chercher deux hauteurs de saut.

Une limite infinie n’est pas une valeur de la fonction. Dire que 1/x tend vers l’infini à droite de 0 décrit une divergence, non l’existence d’un nombre atteint en 0. Selon la classification retenue ici, la discontinuité est essentielle.

Le domaine doit être examiné avant le graphe. À une extrémité du domaine, un seul côté peut être accessible ; la continuité se juge alors relativement au domaine. Il ne faut pas déclarer une discontinuité parce que des valeurs extérieures au domaine manquent.

fonction continue — Pour approfondir la condition exacte qui échoue en un point de discontinuité.

Limite à gauche — Pour formaliser le comportement d’une fonction lorsque la variable approche le point par valeurs inférieures.

Limite à droite — Pour compléter le diagnostic en étudiant l’approche par valeurs supérieures.

Prolongement par continuité — Pour voir comment une limite finie permet de réparer une discontinuité effaçable.