Limite à droite

Imaginez que l'on se déplace sur une droite vers le nombre 2, sans jamais passer à sa gauche. On essaie successivement 2,1, puis 2,01, puis 2,001. Si les valeurs de la fonction se resserrent autour de 3, alors 3 est sa limite à droite en 2.

Seul le comportement juste après 2 compte. La valeur prise exactement en 2 peut être 3, une autre valeur, ou même ne pas être définie : cela ne change pas cette limite à droite.

Soit f une fonction réelle, soit a un point que son domaine permet d'approcher par des nombres strictement supérieurs à a, et soit L un nombre réel. Dire que f admet L pour limite à droite en a signifie que f(x) devient aussi proche que souhaité de L lorsque x reste supérieur à a et se rapproche de a. On écrit ${\lim }_{x\to a^{+}}f(x)=L\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; a^+\}\; f(x)=L$, ou f(a+) = L lorsque cette notation est adoptée.

Plus précisément, pour toute précision positive ε, il existe une distance positive δ telle que tout nombre x du domaine de f vérifie la condition suivante :La première inégalité impose l'approche par la droite ; elle exclut le point a lui-même.

De façon équivalente, pour toute suite de nombres x_n du domaine telle que x_n > a et x_n tende vers a, la suite f(x_n) doit tendre vers le même nombre L. En un point intérieur d'un intervalle où f est définie des deux côtés, f est continue en a exactement lorsque ses deux limites latérales existent et sont égales à f(a).

Une limite à droite réunit cinq éléments. La fonction f fournit les valeurs observées. Le point a fixe la destination sur l'axe des nombres. La contrainte x > a sélectionne uniquement le côté droit. Le rapprochement de x vers a décrit un mouvement sans imposer que x atteigne a. Enfin, le nombre L est la valeur candidate autour de laquelle f(x) doit se resserrer.

Le côté choisi détermine quelles valeurs de f sont pertinentes, tandis que la précision demandée autour de L détermine à quel point x doit être proche de a. Ces données suffisent à tester une limite à droite. Le tracé, l'échelle du graphique et la valeur f(a) peuvent aider à la lecture, mais ne définissent pas cette limite.

On étudie une fonction f au point a = 2. Les données sont les suivantes :
pour x < 2, f(x) = 0 ;
pour x = 2, f(2) = 7 ;
pour x > 2, f(x) = x + 1.

1. Pour une limite à droite, on ne garde que les nombres x strictement supérieurs à 2. La branche utile est donc f(x) = x + 1.

2. Avec x = 2,1, puis 2,01 et 2,001, on obtient respectivement f(x) = 3,1, puis 3,01 et 3,001. Ces valeurs se rapprochent de 3.

3. Pour le contrôle formel, la distance entre f(x) et 3 vaut $\mathrm{\mid }f(x)-3\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }x+1-3\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }|f(x)-3|=|x+1-3|=|x-2|$. Si 0 < x − 2 < δ, choisir δ = ε garantit donc |f(x) − 3| < ε.

4. On conclut que ${\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)=3\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; 2^+\}\; f(x)=3$. La valeur f(2) = 7 n'intervient pas dans ce calcul.

Le graphe associé sépare les trois informations : la branche de droite vise 3, la branche de gauche vise 0 et le point plein marque la valeur 7 prise exactement en 2.

Sur le graphe d'une fonction définie par morceaux, on suit uniquement la branche située à droite du point étudié. Si les deux branches visent des hauteurs différentes, une limite bilatérale ne convient pas : il faut lire séparément les deux limites latérales.

Dans un calcul algébrique, on utilise la formule valable pour x > a, puis on étudie son comportement quand x s'approche de a. La valeur spéciale éventuellement attribuée en a ne doit être utilisée que pour tester ensuite la continuité.

À l'extrémité gauche d'un domaine, l'approche par la droite peut être la seule disponible. Par exemple, pour une fonction définie sur [a, +∞[, demander une limite à gauche en a n'a pas de sens dans ce domaine, tandis que la limite à droite décrit son comportement au bord.

Limite à gauche. Elle utilise les nombres x < a, alors que la limite à droite impose x > a. Dans l'exemple, la limite à gauche en 2 vaut 0 et la limite à droite vaut 3.

Limite sans précision de côté. Elle exige que les approches par la gauche et par la droite conduisent au même résultat. L'exemple possède une limite à droite, mais aucune limite bilatérale en 2 puisque 0 ≠ 3.

Valeur de la fonction au point. La limite décrit les valeurs voisines ; f(a) décrit le point lui-même. Dans l'exemple, f(2) = 7 tandis que la limite à droite vaut 3.

Le point n'est pas approchable par la droite dans le domaine. S'il n'existe aucun nombre du domaine strictement supérieur à a et arbitrairement proche de a, la notion usuelle de limite à droite n'est pas applicable. Il faut d'abord examiner le domaine.

Quelques valeurs ne prouvent pas une limite. Les essais 2,1, 2,01 et 2,001 suggèrent 3, mais ils ne contrôlent pas tous les x assez proches de 2. Une preuve utilise un argument ε-δ ou vérifie le critère pour toute suite admissible.

Une limite à droite peut exister seule. Dans l'exemple, elle vaut 3 même si la limite à gauche vaut 0. Il ne faut donc conclure ni à l'existence d'une limite bilatérale ni à la continuité sans contrôler l'autre côté et f(2).

Une limite infinie n'est pas une limite réelle. Si f(x) croît sans borne lorsque x tend vers a par la droite, on écrit une limite égale à +∞ dans les réels étendus. Il ne faut pas présenter +∞ comme une valeur réelle atteinte par f.

La limite à gauche complète l'étude locale : sa comparaison avec la limite à droite décide de l'existence d'une limite bilatérale.

L'article La droite topologique replace limites et continuité dans le cadre plus large des voisinages et de la topologie de la droite réelle.