Jusqu'au xixe siècle, l'existence des nombres réels semblait être offerte par la nature. Aucune considération sur leur structure, a fortiori leur construction, n'avait donc de sens. On savait cependant depuis le xviie siècle mettre en miroir les points d'une droite et les nombres réels, moyennant une origine et une unité. Au xixe siècle, tout se bouscule. Les mathématiciens prennent conscience de la distinction entre la réalité physique et sa modélisation mathématique. Le corollaire est alors de bâtir un édifice mathématique sur des bases logiques. Cette maturation durera pratiquement tout ce siècle avec un besoin pressant de définir les nombres réels, en partant des rationnels qui semblent avoir une réalité sensible. C'était en particulier indispensable pour démontrer, sans faire appel à l'évidence géométrique, les théorèmes de base sur les fonctions continues (comme celui des valeurs intermédiaires). Ce sera l'œuvre de plusieurs mathématicien, dont Karl Weierstrass, Charles Méray, Richard Dedekind et Georg Cantor.
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Ordre, complétude et intervalles
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Ces différents mathématiciens ont « construit » l'ensemble des réels en partant de l'ensemble des nombres rationnels, communément appelés fractions. L'argument principal est ce que l'on appelle la complétude. De même que π, obtenu par approximations successives, s'est imposé comme étant un nombre, on veut ajouter aux rationnels toutes ces limites potentielles de suites s'avérant ne pas être des rationnels. Prenons une partie non vide A de l'ensemble des réels. Un élément m de ℝ s'appelle un majorant de A si, pour tout élément x de A, on a x ≤ m. La complétude de l'ensemble des nombres réels s'exprime par le fait que toute partie non vide majorée (c'est-à-dire possédant au moins un majorant) de ℝ possède une borne supérieure, c'est à dire qu'il existe un majorant M (nécessairement unique) de A tel que M ≤ m pour tout majorant m de A.
