Hasta el 19.º siglo, la existencia de los números reales parecía venir dada por la naturaleza. Por tanto, ninguna consideración acerca de su estructura, a fortiori de su construcción, tenía sentido. Sin embargo, desde el 17.º siglo se sabía establecer una correspondencia entre los puntos de una recta y los números reales, fijando un origen y una unidad. En el 19.º siglo todo se acelera. Los matemáticos toman conciencia de la diferencia entre la realidad física y su modelización matemática. La consecuencia fue construir un edificio matemático sobre bases lógicas. Esta evolución ocupará prácticamente todo el siglo, ante la necesidad apremiante de definir los números reales a partir de los racionales, que parecen tener una realidad sensible. Era indispensable, en particular, para demostrar, sin recurrir a la evidencia geométrica, los teoremas básicos sobre las funciones continuas —como el de los valores intermedios—. Será obra de varios matemáticos, entre ellos Karl Weierstrass, Charles Méray, Richard Dedekind y Georg Cantor.
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Orden, completitud e intervalos
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Estos matemáticos «construyeron» el conjunto de los números reales a partir del conjunto de los números racionales, comúnmente llamados fracciones. El argumento principal es lo que se denomina completitud. Del mismo modo que π, obtenido mediante aproximaciones sucesivas, se impuso como número, se pretende añadir a los racionales todos esos posibles límites de sucesiones que resultan no ser racionales. Sea A un subconjunto no vacío del conjunto de los reales. Un elemento m de A se llama cota superior de A si, para todo elemento x de A, se tiene x ≤ m. La completitud del conjunto de los números reales se expresa mediante el hecho de que todo subconjunto no vacío acotado superiormente (es decir, que posee al menos una cota superior) de A posee una cota inferior; es decir, existe una cota superior M (necesariamente única) de A tal que M ≤ m para toda cota superior m de A.
