Fino al 19º secolo, l’esistenza dei numeri reali sembrava offerta dalla natura. Ogni considerazione sulla loro struttura, a fortiori sulla loro costruzione, era dunque priva di senso. Già dal 17º secolo si sapeva però mettere in corrispondenza biunivoca i punti di una retta e i numeri reali, fissando un’origine e un’unità. Nel 19º secolo tutto cambiò rapidamente. I matematici presero coscienza della distinzione tra la realtà fisica e la sua modellizzazione matematica. Ne conseguì la necessità di costruire un edificio matematico su basi logiche. Questa maturazione occupò praticamente tutto il secolo, con l’urgente necessità di definire i numeri reali a partire dai razionali, che sembrano avere una realtà sensibile. Era indispensabile, in particolare, per dimostrare senza ricorrere all’evidenza geometrica i teoremi fondamentali sulle funzioni continue, come quello dei valori intermedi. Fu opera di diversi matematici, fra cui Karl Weierstrass, Charles Méray, Richard Dedekind e Georg Cantor.
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Ordine, completezza e intervalli
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Questi diversi matematici hanno «costruito» l’insieme dei numeri reali a partire dall’insieme dei numeri razionali, comunemente chiamati frazioni. L’argomento principale è ciò che si chiama completezza. Come π, ottenuto mediante approssimazioni successive, si è imposto come numero, così si vogliono aggiungere ai razionali tutti i limiti di successioni che non sono numeri razionali. Sia A un sottoinsieme non vuoto dell’insieme dei numeri reali. Un elemento m di A è detto maggiorante di A se, per ogni elemento x di A, si ha x ≤ m. La completezza dell’insieme dei numeri reali si esprime nel fatto che ogni parte non vuota maggiorata (cioè dotata di almeno un maggiorante) di A possiede un estremo inferiore, vale a dire che esiste un maggiorante M di A, necessariamente unico, tale che M ≤ m per ogni maggiorante m di A.
