La retta

Représenter les nombres réels comme les points d'une droite est une idée qui a bouleversé la géométrie autant que l'analyse. Descartes, en repérant les points du plan par deux nombres, y a joué un rôle majeur. Depuis son apport, on sait mettre une droite en équation ! La construction des nombres réels au xixe siècle est l'aboutissement de la transition d'une vision intuitive de la droite à une représentation axiomatique. Cette approche a permis de s'intéresser à la notion de « proximité » des points, de définir un intervalle et plus généralement de se pencher sur la topologie de la droite réelle.

Da Euclide, la retta è la base della geometria. La maggior parte delle figure ne contengono e numerosi teoremi hanno raccolto la sfida di dimostrare che alcuni punti sono allineati; da ciò si deduce l'esistenza di rette notevoli, come quelle di Eulero o di Simson (vedi qui a fianco). Le rette sembrano « guidare » le curve e le superfici. Una curva si assimila localmente alla sua tangente, all'infinito al suo asintoto. Può essere definita da una famiglia di rette che risultano essere tutte tangenti: è l'inviluppo. Trovare rette in una superficie porta a costruirla meglio. Cosa sorprendente, alcune superfici sono addirittura una riunione di rette mentre tutto sembra curvo in esse!

Geometria non euclidea, geometria proiettiva: ogni nuova visione estende il concetto di retta. La nozione di « più breve percorso da un punto a un altro » fa intravvedere la nozione di geodetica su una superficie, con sorprese e problemi divertenti. E i computer si intromettono per aiutarci a costruire rette!