Nel 1872 vengono formulate due definizioni dei reali ancora oggi in uso: mediante le successioni di Cauchy e i tagli di Dedekind. Prima di allora, i matematici parlavano di «grandezza» e davano definizioni caso per caso: si definivano gli irrazionali algebrici (come le radici quadrate o n-esime), si cercava la migliore definizione di π… Ma non esisteva una definizione generale e precisa degli irrazionali. Era quindi difficile sapere esattamente che cosa si stesse manipolando. Si possono ordinare queste grandezze? Si possono addizionare, sottrarre, moltiplicare? E come definire, allora, l’ordine e le operazioni?
Perché è un problema? Perché alcuni teoremi dell’analisi, in particolare sulla convergenza delle successioni, poggiano allora su basi dubbie: a che cosa tende una successione di razionali quando il suo limite stesso non è razionale?
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Una campagna per un maggiore rigore --------------------------------
Charles Méray (1835-1911; nel riquadro qui sopra), matematico francese che svolse gran parte della sua carriera all’università di Digione, fu il primo a proporre una definizione degli irrazionali. Per lui, la mancanza di rigore nell’analisi era gravissima. Non usava mezzi termini: « \[L’analisi\] mi è parsa miserevole per la sua frammentarietà, i suoi procedimenti, la sua assoluta mancanza di rigore, e i miei principali sforzi sono stati volti a renderla naturale, chiara e rigorosa.» Rimproverava a questa disciplina di fondarsi su principi « precari » e su ragionamenti dubbi che facevano troppo ricorso alla nozione di continuità. Secondo lui, « questo metodo è stato fecondo di petizioni di principio, paralogismi, considerazioni scoraggianti, e perfino errori ». Solo grazie alle « applicazioni particolari » i matematici erano riusciti a eliminare gli errori. Méray raccomandava invece di basarsi sui calcoli.