En 1872 se propusieron dos definiciones de los números reales que aún se utilizan hoy: mediante las sucesiones de Cauchy y mediante las cortaduras de Dedekind. Antes de eso, los matemáticos hablaban de «magnitud» y ofrecían definiciones caso por caso: definían irracionales algebraicos (como las raíces cuadradas o n-ésimas), buscaban la mejor definición de π… Pero no existía una definición general y precisa de los irracionales. Resultaba entonces difícil saber exactamente qué se estaba manejando. ¿Se podían ordenar esas magnitudes? ¿Se podían sumar, restar, multiplicar? Pero entonces, ¿cómo definir el orden y las operaciones?
¿Por qué es un problema? Porque algunos teoremas del análisis —en particular, los relativos a la convergencia de las sucesiones— se apoyan entonces en una base dudosa: ¿hacia qué tiende una sucesión de racionales cuando su propio límite no es racional?
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En campaña por un mayor rigor
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Charles Méray (1835-1911; en la viñeta superior), matemático francés que desarrolló la mayor parte de su carrera en la Universidad de Dijon, fue el primero en proponer una definición de los irracionales. Para él, la falta de rigor en análisis era crítica. No se andaba con rodeos: « \[El análisis\] me pareció lamentable por su falta de coherencia, sus procedimientos, su absoluta falta de rigor, y mis principales esfuerzos se dirigieron a hacerlo natural, claro y riguroso.» Reprochaba a esta disciplina apoyarse en principios «precarios» y en razonamientos dudosos que recurrían demasiado a la noción de continuidad. Según él, «este método ha sido fecundo en peticiones de principio, paralogismos, consideraciones repelentes e incluso errores». Solo gracias a las «aplicaciones particulares» los matemáticos lograron eliminar los errores. Méray recomendaba basarse, en cambio, en cálculos.
