La droite

Representar los números reales como los puntos de una recta es una idea que revolucionó tanto la geometría como el análisis. Descartes, al localizar los puntos del plano mediante dos números, desempeñó un papel fundamental en ello. Desde su aporte, se sabe expresar una recta mediante una ecuación. La construcción de los números reales en el siglo XIX representa la culminación de la transición de una visión intuitiva de la recta hacia una representación axiomática. Este enfoque permitió interesarse por la noción de « proximidad » de los puntos, definir un intervalo y, de manera más general, examinar la topología de la recta real.

Desde Euclides, la recta es la base de la geometría. La mayoría de las figuras las contienen y numerosos teoremas han enfrentado el desafío de demostrar que ciertos puntos están alineados; de esto se deduce la existencia de rectas notables, como las de Euler o de Simson (ver al margen). Las rectas parecen « guiar » las curvas y las superficies. Una curva se asimila localmente a su tangente, en el infinito a su asíntota. Puede ser definida por una familia de rectas que resultan ser todas tangentes a ella: es la envolvente. Encontrar rectas en una superficie conduce a construirla mejor. Cosa sorprendente, ciertas superficies son incluso una reunión de rectas ¡mientras todo parece curvo en ellas!

Geometría no euclidiana, geometría proyectiva: cada nueva visión extiende el concepto de línea. La noción de « el camino más corto de un punto a otro » permite vislumbrar la noción de geodésica sobre una superficie, con sorpresas y problemas divertidos. ¡Y las computadoras se mêlent para ayudarnos a construir líneas!