Para determinar el camino más corto entre dos puntos de un plano, basta con disponer de una regla y trazar la recta que los une. El problema no es más complicado en el caso de las superficies desarrollables, que, como los cilindros, los conos o la banda de Möbius, pueden aplanarse sin desgarrarlas ni estirarlas y, por tanto, sin modificar las distancias. Para determinar el camino más corto, basta con «aplanar» la superficie y trazar una línea con una regla.
*Aplanamiento de un cilindro para determinar sus geodésicas. Se obtienen circunferencias (las directrices, en naranja), hélices (en amarillo) y rectas (las generatrices, en rojo).*
En el caso del cilindro, cada punto puede representarse varias veces, lo que da lugar a priori a varias curvas posibles. Todas reciben el nombre de geodésicas, aunque solo una de ellas constituye el camino más corto, pues comparten una propiedad. Corresponden a las posiciones que adopta una goma elástica tensada entre ambos puntos, siempre que la superficie carezca de rozamiento y se desprecie la gravedad. Matemáticamente, las geodésicas se caracterizan por una condición diferencial que, cuando la curva es plana, equivale a que, en todo punto, su plano sea perpendicular al plano tangente a la superficie en ese punto (véase el recuadro).
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