La geometría euclidiana (300 a. C.) se basa en definiciones de objetos geométricos (puntos, rectas, etc.) y en cinco postulados, reglas básicas para trabajar con estos objetos. El primer postulado afirma, por ejemplo, que siempre puede trazarse un segmento que una dos puntos cualesquiera. El quinto, más complejo, implica que por todo punto que no pertenece a una recta pasa una única paralela a dicha recta. Aquí se dice que dos rectas son paralelas si su intersección es vacía.
Este quinto postulado planteó dudas durante mucho tiempo: ¿puede deducirse de los cuatro anteriores? Finalmente, en el 19.º siglo se demostró que era efectivamente independiente. A partir de esta constatación surgieron dos nuevos tipos de geometrías, que se distinguen de la geometría euclidiana por sustituir este postulado. En geometría hiperbólica, por ejemplo, por un punto pasa una infinidad de paralelas a una recta dada. Para formalizarlo, es preciso redefinir la noción de recta y salir del marco del plano euclidiano: ese es el objetivo de lo que sigue.
Superficies, distancias y geodésicas
En matemáticas, una superficie es un objeto que, visto de cerca, se parece a un plano, del mismo modo que la Tierra parece plana a nuestra escala. Podemos orientarnos sobre una superficie mediante dos coordenadas, como la latitud y la longitud en la Tierra: es un objeto de dimensión dos.
