La geometria euclidea (300 a.C.) si basa su definizioni di oggetti geometrici (punti, rette ecc.) e su cinque postulati, regole fondamentali per operare con tali oggetti. Il primo postulato afferma per esempio che è sempre possibile tracciare un segmento congiungendo due punti qualsiasi. Il quinto, più complesso, implica che, data una retta, per ogni punto esterno a essa passa un’unica parallela a quella retta. Qui due rette si dicono parallele se la loro intersezione è vuota.
Questo quinto postulato sollevò a lungo una questione: può essere dedotto dai quattro precedenti? Infine, nel 19º secolo, si dimostrò che era effettivamente indipendente. Da questa constatazione nacquero due nuovi tipi di geometrie, che si distinguono dalla geometria euclidea sostituendo tale postulato. Nella geometria iperbolica, per esempio, per un punto passano infinite parallele a una retta data. Per formalizzare tutto ciò, occorre ridefinire la nozione di retta e uscire dal quadro del piano euclideo: è quanto faremo nel seguito.
Superfici, distanze e geodetiche
In matematica, una superficie è un oggetto che, visto da vicino, assomiglia a un piano, proprio come la Terra ci sembra piatta alla nostra scala. Ci si può orientare su una superficie mediante due coordinate, come la latitudine e la longitudine sulla Terra: è un oggetto bidimensionale.
