Questo articolo è stato pubblicato originariamente in Tangente 162. Lo ripubblichiamo in occasione della morte di Maryam Mirzakhani.
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«I matematici riuniti da tutto il mondo hanno assegnato questo premio per lavori notevoli?» a Maryam Mirzakhani, matematica iraniana di 37 anni, docente presso la prestigiosa Università di Stanford (California).
Rivolgendosi a George Sand, Flaubert affermava: «?L’uomo non è nulla, l’opera è tutto!» Parliamo dunque dell’opera di Maryam Mirzakhani, o meglio stuzzichiamo l’appetito del lettore, tanto sono ricchi e complessi i concetti matematici in gioco, tanto è considerevole l’opera. Alcuni riferimenti di difficoltà crescente, citati alla fine dell’articolo, permetteranno di alimentare la curiosità.
In estrema sintesi, si può dire che Maryam Mirzakhani si sia interessata ad alcuni sistemi dinamici su oggetti geometrici, in due casi principali.
Nel primo caso (quello di una superficie iperbolica), il sistema dinamico studiato è il flusso geodetico sulla superficie: dati un punto di partenza e una direzione, esiste un unico modo di evolvere, seguendo la curva di minima lunghezza (la geodetica) determinata, localmente e in realtà globalmente, da quel punto e da quella direzione.
La questione è capire come si comportino le traiettorie nel futuro: esistono traiettorie che si richiudono, dette periodiche, o addirittura che si richiudono senza intersecarsi (periodiche semplici)? Quali informazioni fornisce sulla geometria della superficie l’insieme di queste geodetiche periodiche? ecc.
Il secondo caso, quello delle superfici di traslazione, riguarda il flusso verticale sulla superficie. Qui ci limiteremo a un approccio molto superficiale a questo caso.
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I palcoscenici della dinamica. Il proscenio topologico
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Il «teorema di classificazione delle superfici» fa parte del breviario di ogni apprendista matematico: a meno di «deformazione continua» (senza strappi), una superficie «compatta, orientabile, senza bordo?» si riconduce a uno degli oggetti matematici presentati nel riquadro Il bestiario delle superfici orientabili, caratterizzato dal suo genere g.
Se si rimuovono n dischi distinti da una superficie di genere g, si ottiene una superficie di genere g con n componenti di bordo oppure n punte, a seconda che i dischi siano aperti o chiusi, e indicheremo senza ulteriori precisazioni con Σ*g,n una tale superficie (la indichiamo con Σg quando n* = 0).
Si può costruire Σg,n mediante incollaggio (identificando a due a due i lati di un poligono) e, se il poligono è dotato di una struttura metrica (se si sanno misurare le distanze tra punti, gli angoli tra vettori, ecc.), la superficie così ottenuta eredita tale struttura metrica, dapprima localmente, tra punti vicini, poi globalmente.
Scenari geometrici
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La parte superiore, situata nel semispazio {z > 0}, dell’iperboloide di rotazione a due falde di equazione z2 – x2 – y2 = 1 è una superficie i cui piani tangenti possono essere ciascuno dotati di un prodotto scalare, struttura ben adatta ai calcoli metrici intrinseci.
Su questa superficie si costruisce naturalmente una metrica, detta iperbolica, che consente di misurare le distanze tra punti e gli angoli tra vettori di ciascun piano tangente in un punto. Per questa metrica esiste sempre un’unica geodetica che unisce due punti: è l’intersezione della superficie con un piano passante per O. La proiezione della superficie dal punto (0, 0, –1) dà un disco aperto di raggio 1. Trasportando la struttura metrica sul disco, detto di Poincaré, le geodetiche diventano archi di cerchio, oppure diametri, tutti ortogonali al bordo.
La metrica del secondo schema è una metrica euclidea (con singolarità). Se si scelgono n vettori del piano euclideo 2, disposti testa a coda in due modi, in modo che le due linee poligonali così formate non si intersechino se non alle estremità, si forma un poligono piano. Stabilendo da un lato che le due copie del vettore siano identificate tra loro e dall’altro che una direzione di riferimento, la direzione verticale, faccia parte della struttura geometrica, si costruisce, per ripiegamento e in modo formale, una coppia composta da una superficie senza bordo e da una direzione privilegiata. «In modo formale?» perché il genere della superficie può essere osservato mediante il ripiegamento effettivo, ma si stabilisce che su questa superficie le geodetiche siano segmenti di retta.
Le superfici così costruite sono dette di traslazione perché le applicazioni che definiscono l’incollaggio sono soltanto traslazioni. Questa volta il ripiegamento non procede bene: attorno ai vertici identificati tra loro si formano singolarità; in termini geometrici, si può dire che la curvatura negativa si concentri nei punti proiettati dei vertici in cui si formano le singolarità.
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Mirzakhani nel contesto iperbolico
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Su Σ*g,n esistono infiniti modi di dotare la superficie di una metrica iperbolica. L’insieme di queste metriche è classificato dallo spazio dei moduli*, Mg,n, che non distingue due metriche che in fondo sono le stesse, cioè isometriche. Fissiamo per il momento una metrica su Σg,n.
Tracciamo su questa superficie un cammino continuo che si richiude, un laccio. Facendo scorrere questo cammino sulla superficie, lo si può rendere geodetico in un solo modo: i matematici dicono che nella classe del laccio esiste un’unica geodetica periodica, nella terminologia tecnica di omotopia libera. Esiste allora soltanto un numero finito N (L) di geodetiche periodiche di lunghezza minore o uguale a L.
La funzione che associa a L N (L) contiene moltissime informazioni sulla geometria della superficie, ma non può essere esplicitata. Tuttavia, negli anni Quaranta l’analisi di Fourier ha permesso di determinarne con precisione il comportamento asintotico: L × N(L)e-L → 1 quando L tende all’infinito; in particolare, la crescita esponenziale di questo numero non dipende dal genere della superficie. Negli anni Ottanta Joan Birman e Caroline Series osservarono che il numero di geodetiche periodiche semplici Ns(L) cresce al più polinomialmente rispetto alla lunghezza L. Nel 2000 Igor Rivin fornì una delimitazione di questa funzione di conteggio, ma con polinomi in L di gradi diversi. In questo contesto si inserirono i primi risultati di Maryam Mirzakhani. Nella prima parte della sua tesi ottenne il seguente risultato: esiste una costante C, che dipende da Σg,n, tale che
Questo primo risultato è spettacolare per due ragioni?:
• perché precisa in modo ottimale il comportamento asintotico di Ns – e questo è di per sé un progresso fondamentale!
• perché i metodi impiegati sono nuovi e, in definitiva, la formula evidenziata non è che una semplice conseguenza di risultati ben più profondi, che offrono una migliore comprensione della complessa geometria dello spazio dei moduli Mg,n. Dai metodi impiegati deriva, per esempio, una formula di ricorrenza che consente di calcolare i volumi di tutti questi spazi dei moduli. Un’altra illustrazione della pertinenza dell’approccio è che esso ha fornito, in modo sorprendente, una nuova dimostrazione della congettura di Witten, che riguarda la geometria degli spazi dei moduli ma il cui enunciato non può essere dato qui. In sostanza, l’approccio di Mirzakhani prescinde dalla non omogeneità della geometria di Mg,n. Questa successione di primi risultati costituì il contenuto della sua tesi. Molti matematici sarebbero fieri di averli ottenuti nel corso della propria carriera.
Nel contesto delle superfici di traslazione, i lavori di Mirzakhani riguardano ancora lo spazio dei moduli associato, ma non possono essere descritti qui.
Lasciamo la conclusione a Curtis McMullen, relatore della tesi di Mirzakhani, a sua volta vincitore della medaglia Fields nel 1998 per i suoi lavori in dinamica complessa: «I campi di ricerca di Maryam Mirzakhani abbracciano, con grande originalità, numerose discipline matematiche, tra cui la geometria algebrica e simplettica, la topologia nelle basse dimensioni e i processi aleatori. I suoi progressi hanno cambiato la nostra visione degli spazi dei moduli e indicano la strada verso le frontiere della conoscenza matematica, dove importanti questioni attendono di essere risolte.?»
