Este artículo se publicó inicialmente en Tangente 162. Lo republicamos con motivo del fallecimiento de Maryam Mirzakhani.
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« Los matemáticos reunidos de todo el mundo concedieron este galardón a Maryam Mirzakhani por sus notables trabajos.»
Dirigiéndose a George Sand, Flaubert afirmaba: «¡El hombre no es nada; la obra lo es todo!» Hablemos, pues, de la obra de Maryam Mirzakhani o, mejor aún, abramos el apetito del lector, pues las nociones matemáticas en juego son tan ricas y complejas como considerable es su obra. Algunas referencias de dificultad gradual, citadas al final del artículo, permitirán alimentar la curiosidad.
Muy brevemente, puede decirse que Maryam Mirzakhani se interesó por ciertos sistemas dinámicos sobre objetos geométricos, en dos casos principales.
En el primer caso —el de una superficie hiperbólica—, el sistema dinámico estudiado es el flujo geodésico sobre la superficie: dados un punto de partida y una dirección, hay una única manera de evolucionar siguiendo la trayectoria más corta —la geodésica— determinada, localmente y de hecho globalmente, por ese punto y esa dirección.
La cuestión consiste en saber cómo se comportan las trayectorias en el futuro: ¿hay trayectorias que se cierran —denominadas periódicas—, incluso que se cierran sin cruzarse —periódicas simples—? ¿Qué información proporciona sobre la geometría de la superficie el conjunto de estas geodésicas periódicas? Etcétera.
En el segundo caso —el de las superficies de traslación—, se estudia el flujo vertical sobre la superficie. Aquí nos limitaremos a una aproximación muy superficial a este caso.
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Los escenarios de la dinámica. El proscenio topológico ----------------------------------------------------------------
El «teorema de clasificación de las superficies» forma parte del breviario de todo aprendiz de matemático: salvo por una «deformación continua» —sin desgarramientos—, una superficie «compacta, orientable y sin borde» se reduce a uno de los objetos matemáticos presentados en el recuadro El bestiario de las superficies orientables, caracterizada por su género g.
Si retiramos n discos distintos de una superficie de género g, el resultado es una superficie de género g con n componentes de borde o n extremos, según que los discos sean abiertos o cerrados, y designaremos sin más precisión por Σ*g,n una superficie de este tipo (la designamos por Σg cuando n* = 0).
Podemos construir Σg,n por plegado —identificando por parejas los lados de un polígono— y, si el polígono posee una estructura métrica —si sabemos medir las distancias entre puntos, los ángulos entre vectores, etc.—, la superficie plegada hereda esa estructura métrica, primero localmente —entre puntos vecinos— y después globalmente.
Escenarios geométricos --------------------
La parte superior —situada en el semiespacio {z > 0}— del hiperboloide de revolución de dos hojas, de ecuación z2 – x2 – y2 = 1, es una superficie en la que cada plano tangente puede dotarse de un producto escalar, una estructura muy adecuada para los cálculos métricos —intrínsecos—.
Sobre esta superficie se construye de forma natural una métrica —llamada hiperbólica— que permite medir las distancias entre puntos y los ángulos entre vectores de cada plano tangente en un punto. Para esta métrica siempre existe una única geodésica que une dos puntos: la intersección de la superficie con un plano que pasa por O. La proyección de la superficie desde el punto (0, 0, –1) da un disco abierto de radio 1. Si transportamos la estructura métrica al disco —llamado de Poincaré—, las geodésicas se convierten en arcos de circunferencia, o en diámetros, todos ortogonales al borde.
La métrica del segundo esquema es una métrica euclídea —con singularidades—. Si tomamos n vectores del plano euclídeo R\mathbb{R}2, unidos extremo con extremo de dos maneras, de modo que las dos líneas poligonales formadas no se crucen salvo en sus extremos, obtenemos un polígono plano. Si decretamos, por una parte, que las dos copias del vector vi→\overrightarrow{v_{i}} se identifican entre sí y, por otra, que una dirección de referencia —la vertical— forma parte de la estructura geométrica, construimos, mediante plegado y formalmente, un par constituido por una superficie sin borde y una dirección privilegiada. «¿Formalmente?» Porque el género de la superficie puede observarse mediante el plegado efectivo, pero decidimos que, sobre esta superficie, las líneas geodésicas son segmentos de recta.
Las superficies construidas de este modo se denominan de traslación porque las aplicaciones que definen el pegado no son más que traslaciones. Esta vez el plegado no se comporta bien: alrededor de los vértices que se identifican entre sí se forman singularidades; geométricamente, puede decirse que la curvatura negativa se concentra en los puntos proyectados de los vértices donde se forman las singularidades.
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Mirzakhani en el marco hiperbólico -------------------------------------
Sobre Σ*g,n hay infinitas maneras de dotar a la superficie de una métrica hiperbólica. El conjunto de estas métricas está clasificado por el espacio de módulos*, Mg,n, que no distingue entre dos métricas que, en el fondo, son las mismas —se dice que son isométricas—. Fijemos por ahora una métrica sobre Σg,n.
Dibujemos en esta superficie un camino continuo que se cierra —un lazo—. Si deslizamos este camino sobre la superficie, podemos transformarlo en una geodésica de una única manera: los matemáticos dicen que existe una única geodésica periódica en la clase —de homotopía libre, en la jerga— del lazo. Entonces solo existe un número finito N(L) de geodésicas periódicas de longitud menor o igual a L.
La función que asigna a L el valor N(L) contiene enorme cantidad de información sobre la geometría de la superficie, pero no puede expresarse explícitamente. Sin embargo, en la década de 1940, el análisis de Fourier permitió describir con exactitud su comportamiento asintótico: L × N(L)e-L → 1 cuando L tiende al infinito; en particular, el crecimiento exponencial de este número no depende del género de la superficie. En la década de 1980, Joan Birman y Caroline Series observaron que el número de geodésicas periódicas simples Ns(L) presenta un crecimiento a lo sumo polinómico en función de la longitud L. En 2000, Igor Rivin proporcionó una acotación de esta función de recuento —aunque mediante polinomios en L de grados diferentes—. En este contexto se sitúan los primeros resultados de Maryam Mirzakhani. En la primera parte de su tesis obtuvo el siguiente resultado: existe una constante C, que depende de Σg,n, tal que
Ns(L)×L−(6g−6+2n)→L→+∞C.N_s(L)\times L^{-(6g-6+2n)} \xrightarrow[L\rightarrow +\infty]C.
Este primer resultado es espectacular por dos motivos:
• porque precisa de manera óptima el comportamiento asintótico de Ns —¡lo que supone por sí solo un avance fundamental!
• porque los métodos empleados son novedosos y porque, en definitiva, la fórmula destacada no es sino una simple consecuencia de resultados mucho más profundos, que permiten comprender mejor la complicada geometría del espacio de módulos Mg,n. Por ejemplo, de los métodos empleados se deriva una fórmula de recurrencia que permite calcular los volúmenes de todos esos espacios de módulos. Otra muestra de la fecundidad del enfoque es que dio una nueva demostración —de manera sorprendente— de la conjetura de Witten —que trata de la geometría de los espacios de módulos, aunque su enunciado no puede presentarse aquí—. En el fondo, el enfoque de Mirzakhani permite sortear la falta de homogeneidad de la geometría de Mg,n. Esta sucesión de primeros resultados constituyó el contenido de su tesis. Muchos matemáticos se sentirían orgullosos de haberlos establecido a lo largo de su carrera.
En el marco de las superficies de traslación, los trabajos de Mirzakhani también se refieren al espacio de módulos asociado, pero no pueden describirse aquí.
Dejemos la conclusión a Curtis McMullen, director de tesis de Mirzakhani y también galardonado con la medalla Fields en 1998 —por sus trabajos en dinámica compleja—: «Los campos de investigación de Maryam Mirzakhani abarcan, con gran originalidad, numerosas disciplinas matemáticas, entre ellas la geometría algebraica y simpléctica, la topología de bajas dimensiones y los procesos aleatorios. Sus avances han cambiado nuestra visión de los espacios de módulos y señalan el camino hacia las fronteras del conocimiento matemático, donde aguardan grandes cuestiones por resolver.»