En 1878, a los 24 años, Henri Poincaré retoma el estudio de Lazarus Fuchs acerca de una ecuación diferencial que este no había logrado resolver. Entre 1880 y 1884 escribió numerosos trabajos que recurren a métodos procedentes tanto del ámbito de las ecuaciones diferenciales como del análisis complejo, de los grupos de transformaciones o de la geometría hiperbólica.
Henri Poincaré en 1872, a los 18 años.
La geometría de Lobachevski
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En 1882, un artículo de síntesis trata una clase específica de transformaciones geométricas. Tras enunciar algunas propiedades, Poincaré escribe: «No puedo pasar por alto el vínculo que une las nociones precedentes con la geometría no euclidiana de Lobatchewski [sic.]. Supongamos que acordamos despojar a las palabras “recta”, “longitud”, “distancia”, “superficie” de su significado habitual; que llamamos “recta” a todo círculo cuyo centro está en X, “longitud de una curva” a lo que acabamos de llamar su L, “distancia entre dos puntos” a la L del arco de circunferencia que une esos dos puntos con centro en X y, por último, “superficie de una región plana” a lo que llamamos su S. Supongamos además que conservamos el significado de las palabras “ángulo” y “círculo”, pero acordamos llamar “centro” de un círculo al punto que está a una distancia constante de todos los puntos del círculo —según el nuevo sentido de la palabra “distancia”— y “radio” del círculo a esa distancia constante.
