En un poliedro, el número de vértices S, de caras F y de aristas A cumple, por lo general, la relación S + F = A + 2, llamada fórmula de Euler (véase Tangente 174, 2017). Esta joya de las matemáticas transforma problemas de geometría en problemas de aritmética y tiende un maravilloso puente entre dos mundos, sin preocuparse por las dimensiones de los objetos; la relación prefigura así la topología.
En los orígenes, Descartes
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En su texto Progymnasmata de solidorum elementis («Ejercicios sobre los elementos de los sólidos»), René Descartes (1596−1650) enuncia un teorema: la suma de los déficits de los vértices equivale a ocho ángulos rectos. Por déficit de un vértice debe entenderse el complemento hasta 360° de la suma de los ángulos de las caras que concurren en ese vértice.
Por ejemplo, en un tetraedro regular, tres triángulos equiláteros se unen en un vértice. Ahora bien, 3 × 60° = 180°; por tanto, hay un déficit de 360° − 180°, es decir, 180°, en cada uno de los cuatro vértices. En un cubo, tres cuadrados se unen en cada vértice. Ahora bien, 3 × 90° = 270°; por tanto, hay un déficit de 360° − 270°, es decir, 90°, en cada uno de los ocho vértices.
El teorema de Descartes expresa un hecho que todo aficionado a los poliedros ha observado: cuantas menos caras hay, más «puntiagudos» son los vértices. El déficit en el vértice mide precisamente su carácter «puntiagudo». El cubo es «menos puntiagudo» que el tetraedro. Por desgracia, Descartes no publicó este resultado; no se conoció hasta 1860, cuando Louis-Alexandre Foucher de Careil (1826−1891), que lo había descubierto unos años antes en Hannover (Alemania), entre los escritos matemáticos de Leibniz junto con otros manuscritos de Descartes, lo hizo público.
